Question Number 197445 by sonukgindia last updated on 17/Sep/23
$${xe}^{{y}} {y}'=\mathrm{2}\left({e}^{{y}} +{x}^{\mathrm{3}} {e}^{\mathrm{2}{x}} \right) \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 17/Sep/23
$$\mathrm{e}^{\mathrm{y}} =\mathrm{z} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}'=\mathrm{y}'\mathrm{e}^{\mathrm{y}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{xz}'−\mathrm{2z}=\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \mathrm{e}^{\mathrm{2x}} …\mathrm{E} \\ $$$$\mathrm{xz}'−\mathrm{2z}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{kx}^{\mathrm{2}} … \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\mathrm{E} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\left(\mathrm{k}'\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xk}\right)−\mathrm{2kx}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{k}'=\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} \Rightarrow\mathrm{k}=\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{a}\right),\mathrm{a}\in\mathbb{R} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{a}\right)\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$