Question Number 197461 by Erico last updated on 18/Sep/23
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}: \\ $$$$\bullet\underset{\:\mathrm{0}} {\int}^{\:\mathrm{x}} \frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt}=\underset{\:\mathrm{0}} {\int}^{\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{arctan}\left(\mathrm{xtan}\theta\right)\mathrm{d}\theta \\ $$$$\bullet\:\:\underset{\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} {\int}^{\:\mathrm{x}} \frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{arctant}\:\mathrm{dt}=\frac{\pi}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{0}} {\int}^{\:\pi} \mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{sint}\right)\mathrm{dt} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 18/Sep/23
![f(x)=∫_0 ^x ((ln(t))/(t^2 −1))dt,f(0)=0 f′(x)=((ln(x))/(x^2 −1)) g(x)=∫_0 ^(π/2) arctan(xtan (a))da g(0)=0 g′(x)=∫_0 ^(π/2) ((tan(a))/(1+(xtan(a))^2 ))da =∫_0 ^(π/2) ((sin(a)cos(a))/(cos^2 (a)+x^2 sin^2 (a)))dx =∫_0 ^(π/2) ((sin(2a)da)/(cos(2a)+1+x^2 (1−cos(2a))),cos(2a)=y =−(1/2)∫_1 ^(−1) (dy/(1+x^2 +(1−x^2 )y)) =(1/(2(1−x^2 ))).{ln [(1+x^2 )+(1−x^2 )y]}_(−1) ^1 (1/(2(1−x^2 )))ln((2/(2x^2 )))=((ln(x))/(x^2 −1))=f′(x) f′(x)=g′(x) ,f(0)=g(0)⇒f(x)=g(x) (2)H(x)=∫_(1/x) ^x ((ln(t))/(t^2 −1))tan^(−1) (t)dt t→(1/t)⇒H(x)=∫_(1/x) ^x ((ln(t))/(t^2 −1))((π/2)−tan^(−1) (t))dt,∀x∈R_+ ^∗ H(x)=(π/2)∫_(1/x) ^x ((ln(t))/(t^2 −1))dt−H(x) H(x)=(π/4)∫_(1/x) ^x ((ln(t))/(t^2 −1))dt=(π/4)(∫_0 ^x ((ln(t))/(t^2 −1))dt−∫_0 ^(1/x) ((ln(t))/(t^2 −1))dt) =(π/4)(f(x)−f((1/x)))=(π/4)(g(x)−g((1/x))) =(π/4)tan^(−1) (xtan(a))−(π/4)tan^− (((tan(a))/x)) tan^(−1) (a)−tan^(−1) (b)=tan^(−1) (((a−b)/(1+ab))), (π/4)∫_0 ^(π/2) (tan^− ((((x−(1/x))tan (a))/(1+tan^2 (a)))))da =(π/4)∫_0 ^(π/2) tan^(−1) ((x−(1/x))((sin(2a))/2))da 2a→a =(π/8)∫_0 ^π tan^(−1) ((1/2)(x−(1/x))sin(a))da](https://www.tinkutara.com/question/Q197467.png)
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt},\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{arctan}\left(\mathrm{xtan}\:\left(\mathrm{a}\right)\right)\mathrm{da} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{g}'\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{1}+\left(\mathrm{xtan}\left(\mathrm{a}\right)\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{da} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{a}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}\right)+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2a}\right)\mathrm{da}}{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2a}\right)+\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2a}\right)\right.},\mathrm{cos}\left(\mathrm{2a}\right)=\mathrm{y} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{y}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}.\left\{\mathrm{ln}\:\left[\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{y}\right]\right\}_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }\right)=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}'\left(\mathrm{x}\right)\:,\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{0}\right)\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{H}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{t}\rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\Rightarrow\mathrm{H}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}\right)\right)\mathrm{dt},\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R}_{+} ^{\ast} \\ $$$$\mathrm{H}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt}−\mathrm{H}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{H}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt}=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt}−\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt}\right) \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right)=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{g}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right) \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{xtan}\left(\mathrm{a}\right)\right)−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{tan}^{−} \left(\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{x}}\right) \\ $$$$\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{a}\right)−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{b}\right)=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{a}−\mathrm{b}}{\mathrm{1}+\mathrm{ab}}\right), \\ $$$$\frac{\pi}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{tan}^{−} \left(\frac{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}\right)}\right)\right)\mathrm{da} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2a}\right)}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{da} \\ $$$$\mathrm{2a}\rightarrow\mathrm{a} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{8}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{a}\right)\right)\mathrm{da} \\ $$