Question Number 197766 by universe last updated on 28/Sep/23
$$\:\:\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \left(\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:{n}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} {x}\:\mathrm{cos}\:{x}\right){dx}\:\:=\:? \\ $$
Commented by witcher3 last updated on 28/Sep/23
$$\mathrm{dominate}\:\mathrm{cv}\:\mathrm{Theorem} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 28/Sep/23
$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \mathrm{dx},\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\rightarrow\mathrm{x} \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{nx}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \mathrm{dx}=\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{n}} =\mathrm{u}\Rightarrow\mathrm{dx}=\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{dx}=\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{u}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{u}.\mathrm{u}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}} \mathrm{du}=\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{u}^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}} \leqslant\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{du}=\mathrm{1} \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{nsin}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}nsin}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$ \\ $$