Question Number 197772 by Erico last updated on 28/Sep/23
$$\mathrm{Can}\:\mathrm{anyone}\:\mathrm{do}\:\mathrm{this}? \\ $$$$\underset{\:\mathrm{1}} {\int}^{\:+\infty} \frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{3}} \:\mathrm{lnt}}\mathrm{dt} \\ $$
Commented by witcher3 last updated on 28/Sep/23
$$\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{Give}\: \\ $$$$\mathrm{close}\:\mathrm{forme}\:\mathrm{of} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}} }{\mathrm{ln}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{t}\right)}.\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{p}} } \\ $$$$\mathrm{m}\geqslant\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{p}\geqslant\mathrm{m}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{m},\mathrm{n},\mathrm{p}\:\in\mathbb{N} \\ $$$$ \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 03/Oct/23
![(1/t)=y I=∫_0 ^1 ((y−1)/((y+1)^3 ln(y))) y→0 ((y−1)/((y+1)ln(y)))→0 y→1,((y−1)/(ln(y))).(1/((y+1)^3 ))→(1/8) (1/(ln(y)))=−∫_0 ^∞ y^a dy y∈]0,1[ ln(t)<0 I=−∫_0 ^∞ ∫_0 ^1 ((y−1)/((y+1)^3 ))y^a dyda= ((y−1)/((y+1)^3 ))=(y−1).(−(1/2)Σ_(n≥2) (−1)^n n(n−1)y^(n−2) ) =−(1/2)Σ_(n≥2) (−1)^n n(n−1)(y^(n−1) −y^(n−2) ) I=(1/2)∫_0 ^∞ ∫_0 ^1 Σ_(n≥2) (−1)^n n(n−1)(y^(n+a−1) −y^(n+a−2) )dy =(1/2)Σ_(n≥2) (−1)^n n(n−1)∫_0 ^∞ (1/((n+a)))−(1/((n+a−1)))da =(1/2)Σ_(n≥2) (−1)^n n(n−1)ln(((n−1)/n)) =(1/2)Σ_(n≥1) 2n(2n−1)ln(((2n−1)/(2n)))−(2n+1)(2n)ln(((2n)/(2n+1))) =−Σ_(n≥1) [2n(2n)^2 ln(2n)+2(2n+1)(2n+1)^2 ln(2n+1)] −Σ_(n≥1) n^2 ln(n)=ζ^∗ ′(−2) ζ^∗ prlangement of Zeta function Over C−plane−{1}](https://www.tinkutara.com/question/Q197816.png)
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}=\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{y}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{y}\right)} \\ $$$$\mathrm{y}\rightarrow\mathrm{0}\:\frac{\mathrm{y}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{y}\right)}\rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{y}\rightarrow\mathrm{1},\frac{\mathrm{y}−\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{y}\right)}.\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\left.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{y}\right)}=−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{y}^{\mathrm{a}} \mathrm{dy}\:\:\:\:\:\mathrm{y}\in\right]\mathrm{0},\mathrm{1}\left[\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)<\mathrm{0}\right. \\ $$$$\mathrm{I}=−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{y}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\mathrm{y}^{\mathrm{a}} \mathrm{dyda}= \\ $$$$\frac{\mathrm{y}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }=\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right).\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{y}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}^{\mathrm{n}+\mathrm{a}−\mathrm{1}} −\mathrm{y}^{\mathrm{n}+\mathrm{a}−\mathrm{2}} \right)\mathrm{dy} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{a}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)}\mathrm{da} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\mathrm{2n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\right)−\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2n}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=−\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\left[\mathrm{2n}\left(\mathrm{2n}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2n}\right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$$−\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)=\overset{\ast} {\zeta}'\left(−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\overset{\ast} {\zeta}\:\:\mathrm{prlangement}\:\mathrm{of}\:\mathrm{Zeta}\:\mathrm{function}\:\mathrm{Over}\:\mathbb{C}−\mathrm{plane}−\left\{\mathrm{1}\right\} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by MathematicalUser2357 last updated on 15/Jan/24
$$\mathrm{0}.\mathrm{213011170749} \\ $$