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2-17-2-16-2-15-1-2-8-2-7-2-6-1-

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Question Number 197860 by cortano12 last updated on 01/Oct/23
((2^(17) +2^(16) +2^(15) +…+1)/(2^8 +2^7 +2^6 +…+1)) = ?
$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{17}} +\mathrm{2}^{\mathrm{16}} +\mathrm{2}^{\mathrm{15}} +\ldots+\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{7}} +\mathrm{2}^{\mathrm{6}} +\ldots+\mathrm{1}}\:=\:?\: \\ $$
Answered by mr W last updated on 01/Oct/23
=((2^(18) −1)/(2−1))×((2−1)/(2^9 −1)) =(((2^9 −1)(2^9 +1))/(2^9 −1)) =2^9 +1 =513
$$=\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{18}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}−\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{2}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{9}} −\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2}^{\mathrm{9}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{9}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{9}} −\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{9}} +\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{513} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 03/Oct/23
AnOther way.... X= ((2^(17) +2^(16) +2^(15) +…+1)/(2^8 +2^7 +2^6 +…+1)) (say) X−1= ((2^(17) +2^(16) +2^(15) +…+1)/(2^8 +2^7 +2^6 +…+1))−1 =((2^(17) +2^(16) +2^(15) +...+2^9 )/(2^8 +2^7 +2^6 +…+1)) =((2^9 (2^8 +2^7 +2^6 +…+1))/((2^8 +2^7 +2^6 +…+1)))=2^9 X=2^9 +1 X=512+1=513
$${AnOther}\:{way}…. \\ $$$$\:\:\:{X}=\:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{17}} +\mathrm{2}^{\mathrm{16}} +\mathrm{2}^{\mathrm{15}} +\ldots+\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{7}} +\mathrm{2}^{\mathrm{6}} +\ldots+\mathrm{1}}\:\:\left({say}\right) \\ $$$$\:\:\:{X}−\mathrm{1}=\:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{17}} +\mathrm{2}^{\mathrm{16}} +\mathrm{2}^{\mathrm{15}} +\ldots+\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{7}} +\mathrm{2}^{\mathrm{6}} +\ldots+\mathrm{1}}−\mathrm{1}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{17}} +\mathrm{2}^{\mathrm{16}} +\mathrm{2}^{\mathrm{15}} +…+\mathrm{2}^{\mathrm{9}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{7}} +\mathrm{2}^{\mathrm{6}} +\ldots+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{9}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{7}} +\mathrm{2}^{\mathrm{6}} +\ldots+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{7}} +\mathrm{2}^{\mathrm{6}} +\ldots+\mathrm{1}\right)}=\mathrm{2}^{\mathrm{9}} \\ $$$${X}=\mathrm{2}^{\mathrm{9}} +\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:{X}=\mathrm{512}+\mathrm{1}=\mathrm{513} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 02/Oct/23
((2^(17) +2^(16) +2^(15) +…+1)/(2^8 +2^7 +2^6 +…+1)) = ? = (((2^(17) +2^(16) +…+2^9 )+(2^8 +2^7 +…+1))/(2^8 +2^7 +…+1)) =((2^(17) +2^(16) +...+2^9 )/(2^8 +2^7 +2^6 +…+1))+1 =((2^9 (2^8 +2^7 +2^6 +…+1))/(2^8 +2^7 +2^6 +…+1))+1 =2^9 +1=512+1=513
$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{17}} +\mathrm{2}^{\mathrm{16}} +\mathrm{2}^{\mathrm{15}} +\ldots+\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{7}} +\mathrm{2}^{\mathrm{6}} +\ldots+\mathrm{1}}\:=\:?\: \\ $$$$\:\:\:=\:\frac{\left(\mathrm{2}^{\mathrm{17}} +\mathrm{2}^{\mathrm{16}} +\ldots+\mathrm{2}^{\mathrm{9}} \right)+\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{7}} +\ldots+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{7}} +\ldots+\mathrm{1}}\: \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{17}} +\mathrm{2}^{\mathrm{16}} +…+\mathrm{2}^{\mathrm{9}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{7}} +\mathrm{2}^{\mathrm{6}} +\ldots+\mathrm{1}}+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{9}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{7}} +\mathrm{2}^{\mathrm{6}} +\ldots+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{7}} +\mathrm{2}^{\mathrm{6}} +\ldots+\mathrm{1}}+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:=\mathrm{2}^{\mathrm{9}} +\mathrm{1}=\mathrm{512}+\mathrm{1}=\mathrm{513} \\ $$

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