Question Number 197882 by CrispyXYZ last updated on 02/Oct/23
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of} \\ $$$$\frac{\mathrm{5}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{t}+\mathrm{5}}{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right){t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{t}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}\:\:\mathrm{where}\:\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}<{t}<\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}. \\ $$
Answered by mr W last updated on 03/Oct/23
$$\frac{\mathrm{5}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{t}+\mathrm{5}}{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right){t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{t}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\mathrm{1}}{{k}},\:{say} \\ $$$$\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{5}{k}\right){t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{k}\right){t}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{5}{k}=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta=\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{k}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{5}{k}\right)\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{5}{k}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{k}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2}−\mathrm{5}{k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$${k}\left(\mathrm{3}{k}−\mathrm{4}\right)\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{0}\leqslant{k}\leqslant\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{{k}}<+\infty \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{5}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{t}+\mathrm{5}}{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right){t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{t}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}\geqslant\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}={minimun} \\ $$$${at}\:{t}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{4}{k}}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{5}{k}}=\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{3}}}=\frac{\mathrm{14}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{13}} \\ $$$$\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}<\frac{\mathrm{14}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{13}}<\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$