Question Number 197919 by universe last updated on 04/Oct/23
$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{I}_{{m}} \:\:\:\:\:=\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\lfloor\mathrm{2}^{{m}} {x}\rfloor}{\mathrm{3}^{{m}} }\:\underset{{n}={m}+\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\lfloor\mathrm{2}^{{n}} {x}\rfloor}{\mathrm{3}^{{n}} }\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{then}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{I}\:=\:\:\:\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{I}_{{m}} \:\:=\:\:?\: \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 06/Oct/23
![2^m x=t ⇔I_m =(1/2^m )∫_0 ^2^m (([t])/3^(2m) )Σ_(n≥m+1) (([2^(n−m) t])/3^(n−m) ) ⇒18^m I_m =∫_0 ^2^m [t]Σ_(n≥1) (([2^n t])/3^n )dt =Σ_(k=0) ^(2^m −1) ∫_k ^(k+1) k.Σ_(n≥1) (([2^n t])/3^n )dt,2^n t=y =Σ_k Σ_n ∫_(2^n k) ^((k+1)2^n ) (k/6^n )[y]dy=18^m I_m ∫_(2^n k) ^((k+1)2^n ) [y]dy=Σ_(j=0) ^(2^n −1) ∫_(2^n k+j) ^(2^n k+1+j) [y]dy =Σ_(j=0) ^(2^n −1) 2^n k+jdy =2^(2n) k+2^(n−1) (2^n −1)= 18^m I_m =Σ_k Σ_(n≥1) ((k(2^(2n) k+2^(n−1) (2^n −1))/6^n ) =Σ_k Σ_(n≥1) k^2 ((2/3))^n +(k/2).((2/3))^n −(k/2)((2/6))^n =Σ_(k=0) ^(2^m −1) .(2k^2 +(3/4)k)=(((2^m −1)(2^m )(2^(m+1) −1))/3)+(3/4)2^(m−1) (2^m −1) I_m =((2^(3m+1) −3.2^(2m) +2^m )/(3.18^m ))+((3.2^(2m−1) −3.2^m )/(4.18^m )) I=Σ_(m≥1) (2/3).((2/3))^(2m) −((2/9))^m +(1/3).(1/9^m )+(3/8).((2/9))^m −(3/4).((1/9))^m easy from here Σ_(n≥1) a^n =(a/(1−a)),∀∣a∣<1](https://www.tinkutara.com/question/Q197973.png)
$$\mathrm{2}^{\mathrm{m}} \mathrm{x}=\mathrm{t} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{I}_{\mathrm{m}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{m}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}^{\mathrm{m}} } \frac{\left[\mathrm{t}\right]}{\mathrm{3}^{\mathrm{2m}} }\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{m}+\mathrm{1}} {\sum}\frac{\left[\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{m}} \mathrm{t}\right]}{\mathrm{3}^{\mathrm{n}−\mathrm{m}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{18}^{\mathrm{m}} \mathrm{I}_{\mathrm{m}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}^{\mathrm{m}} } \left[\mathrm{t}\right]\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\left[\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{t}\right]}{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{m}} −\mathrm{1}} {\sum}}\int_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \mathrm{k}.\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\left[\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{t}\right]}{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} }\mathrm{dt},\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{t}=\mathrm{y} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}} {\sum}\underset{\mathrm{n}} {\sum}\int_{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{k}} ^{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } \frac{\mathrm{k}}{\mathrm{6}^{\mathrm{n}} }\left[\mathrm{y}\right]\mathrm{dy}=\mathrm{18}^{\mathrm{m}} \mathrm{I}_{\mathrm{m}} \\ $$$$\int_{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{k}} ^{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } \left[\mathrm{y}\right]\mathrm{dy}=\underset{\mathrm{j}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\int_{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{k}+\mathrm{j}} ^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{k}+\mathrm{1}+\mathrm{j}} \left[\mathrm{y}\right]\mathrm{dy} \\ $$$$=\underset{\mathrm{j}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{k}+\mathrm{jdy} \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{2n}} \mathrm{k}+\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)= \\ $$$$\mathrm{18}^{\mathrm{m}} \mathrm{I}_{\mathrm{m}} =\underset{\mathrm{k}} {\sum}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{k}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2n}} \mathrm{k}+\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)\right.}{\mathrm{6}^{\mathrm{n}} } \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}} {\sum}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} +\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{2}}.\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} −\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{m}} −\mathrm{1}} {\sum}}.\left(\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{k}\right)=\frac{\left(\mathrm{2}^{\mathrm{m}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{m}} \right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{m}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{2}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{m}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{m}} =\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{3m}+\mathrm{1}} −\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{2m}} +\mathrm{2}^{\mathrm{m}} }{\mathrm{3}.\mathrm{18}^{\mathrm{m}} }+\frac{\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} −\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{m}} }{\mathrm{4}.\mathrm{18}^{\mathrm{m}} } \\ $$$$\mathrm{I}=\underset{\mathrm{m}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}.\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2m}} −\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\right)^{\mathrm{m}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}^{\mathrm{m}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}.\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\right)^{\mathrm{m}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}.\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\right)^{\mathrm{m}} \\ $$$$\mathrm{easy}\:\mathrm{from}\:\mathrm{here}\: \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\mathrm{a}^{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{a}},\forall\mid\mathrm{a}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$