Question Number 198014 by hardmath last updated on 07/Oct/23
Answered by mahdipoor last updated on 07/Oct/23
$$=\underset{{x}=−\mathrm{1}} {\overset{−\infty} {\sum}}\left(\underset{{y}={x}−\mathrm{1}} {\overset{−\infty} {\sum}}\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} ×\mathrm{3}^{{y}} ×\mathrm{5}\right)=\mathrm{5}\left(\underset{{x}=−\mathrm{1}} {\overset{−\infty} {\sum}}\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} \left(\underset{{y}={x}−\mathrm{1}} {\overset{−\infty} {\sum}}\mathrm{3}^{{y}} \right)\right)= \\ $$$$\mathrm{5}\left(\underset{{x}=−\mathrm{1}} {\overset{−\infty} {\sum}}\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}^{{x}−\mathrm{1}} +\mathrm{3}^{{x}−\mathrm{2}} +…+\mathrm{3}^{−\infty} \right)\right)= \\ $$$$\mathrm{5}\left(\underset{{x}=−\mathrm{1}} {\overset{−\infty} {\sum}}\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} ×\frac{\left(\mathrm{3}^{{x}−\mathrm{1}} +…+\mathrm{3}^{−\infty} \right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{3}−\mathrm{1}\right)}\right)= \\ $$$$\mathrm{5}\left(\underset{{x}=−\mathrm{1}} {\overset{−\infty} {\sum}}\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} ×\frac{\mathrm{3}^{{x}} }{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{5}\left(\underset{{x}=−\mathrm{1}} {\overset{−\infty} {\sum}}\mathrm{6}^{{x}} \right)=\mathrm{5}×\frac{\mathrm{6}^{\mathrm{0}} }{\mathrm{6}−\mathrm{1}}=\mathrm{1} \\ $$
Answered by MathematicalUser2357 last updated on 09/Oct/23
$$\underset{\begin{matrix}{{y}<{x}\leq−\mathrm{1}}\\{{x},{y}\in\mathbb{Z}}\end{matrix}} {\sum}\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} \centerdot\mathrm{3}^{{y}} \centerdot\mathrm{5} \\ $$$$=\underset{{x}=−\mathrm{1}} {\overset{−\infty} {\sum}}\left(\underset{{y}={x}−\mathrm{1}} {\overset{−\infty} {\sum}}\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} \centerdot\mathrm{3}^{{y}} \centerdot\mathrm{5}\right) \\ $$