Question Number 198145 by Erico last updated on 11/Oct/23
$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{lnx}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}\:\mathrm{et}\:\mathrm{I}=\underset{\:\mathrm{0}} {\int}^{\:\mathrm{1}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{1}.\:\mathrm{Montrer}\:\mathrm{que}\:\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4n}}\:\leqslant\:\mathrm{I}\:−\:\frac{\pi}{\mathrm{2n}^{\mathrm{3}} }\:\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{k}\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)}{\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{n}}\right)}\:\leqslant\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4n}} \\ $$$$\mathrm{2}.\:\mathrm{En}\:\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}duire}\:\mathrm{la}\:\mathrm{valeur}\:\mathrm{de}\:\mathrm{I} \\ $$$$ \\ $$