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Prove-that-2t-1-lnt-ln-1-t-1-0-t-x-1-t-1-x-dx-and-1-0-2t-1-lnt-ln-1-t-dt-pi-2-1-0-x-1-x-sin-pix-dx-

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Question Number 198156 by Erico last updated on 12/Oct/23
Prove that ((2t−1)/(lnt−ln(1−t)))=∫^( 1) _( 0) t^x (1−t)^(1−x) dx and ∫^( 1) _( 0) ((2t−1)/(lnt−ln(1−t)))dt = (π/2)∫^( 1) _( 0) ((x(1−x))/(sin(πx)))dx
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\mathrm{lnt}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}=\underset{\:\mathrm{0}} {\int}^{\:\mathrm{1}} \mathrm{t}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{and}\:\:\:\:\underset{\:\mathrm{0}} {\int}^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\mathrm{lnt}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}\mathrm{dt}\:\:=\:\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\underset{\:\mathrm{0}} {\int}^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 12/Oct/23
∫_0 ^1 e^((1−x)ln(1−t)+xln(t)) dx =∫_0 ^1 (1−t)e^(x(ln((t/(1−t)))) dx =(((1−t)((t/(1−t))−1))/(ln(t)−ln(1−t)))=((2t−1)/(ln(t)−ln(1−t))) ∫_0 ^1 ((2t−1)/(ln(t)−ln(1−t)))dt=∫_0 ^1 ∫_0 ^1 t^x (1−t)^(1−x) dxdt =∫_0 ^1 ∫_0 ^1 t^x (1−t)^(1−x) dxdt=∫_0 ^1 ∫_0 ^1 t^x (1−t)^(1−x) dtdx =∫_0 ^1 β(x+1,2−x)dx =∫_0 ^1 ((x(1−x))/(Γ(3))).Γ(x)Γ(1−x)dx=(1/2)∫_0 ^1 ((x(1−x)π)/(sin(πx))) =(π/2)∫_0 ^1 ((x(1−x))/(sin(πx)))dx=(π/2).7((ζ(3))/π^3 )=((7ζ(3))/(2π^2 ))
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)+\mathrm{xln}\left(\mathrm{t}\right)} \mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}\left(\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\right)\right.} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}=\frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}\mathrm{dt}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{t}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \mathrm{dxdt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{t}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \mathrm{dxdt}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{t}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \mathrm{dtdx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \beta\left(\mathrm{x}+\mathrm{1},\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{3}\right)}.\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\pi}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}.\mathrm{7}\frac{\zeta\left(\mathrm{3}\right)}{\pi^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{7}\zeta\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}\pi^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$

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