Question Number 198263 by SANOGO last updated on 15/Oct/23
Answered by witcher3 last updated on 16/Oct/23
![d_w (f,g)=d_w (g,f) d_w (f,g)+d_w (f,h)≥d_w (g,h) ∣w(g−h)∣=∣w(g−f)+w(f−h)∣≤∣w(g−f)∣+∣w(f−g)∣ ⇒sup∣w∣f−g∣∣+sup∣w(f−h)∣≤sup∣w(g,h)∣ d_w (f,g)=0⇒sup_(t∈[0,b]) ∣w(t((f(t)−g(t))∣=0 ⇒∀t∈[a,b] w(t)(f(t)−g(t))=0 w(t)_(t∈[a,b]) ≠0⇒f (2),soit f_n ∈C[a,b] une suite de cauchy ⇒∀ε>0 ∃N ∀n,m≥N d(f_n (x),f_m (x))<ε la suite (f_n )_(n∈N) numerique est de cauchy surR elle cv vers f(x). d(f_n ,f(x))→0⇒f_n (x) cv uniformement vers f(x) ⇒f(x) est C_([a,b]) ⇒(X,d_w ) complet](https://www.tinkutara.com/question/Q198272.png)
$$\mathrm{d}_{\mathrm{w}} \left(\mathrm{f},\mathrm{g}\right)=\mathrm{d}_{\mathrm{w}} \left(\mathrm{g},\mathrm{f}\right) \\ $$$$\mathrm{d}_{\mathrm{w}} \left(\mathrm{f},\mathrm{g}\right)+\mathrm{d}_{\mathrm{w}} \left(\mathrm{f},\mathrm{h}\right)\geqslant\mathrm{d}_{\mathrm{w}} \left(\mathrm{g},\mathrm{h}\right) \\ $$$$\mid\mathrm{w}\left(\mathrm{g}−\mathrm{h}\right)\mid=\mid\mathrm{w}\left(\mathrm{g}−\mathrm{f}\right)+\mathrm{w}\left(\mathrm{f}−\mathrm{h}\right)\mid\leqslant\mid\mathrm{w}\left(\mathrm{g}−\mathrm{f}\right)\mid+\mid\mathrm{w}\left(\mathrm{f}−\mathrm{g}\right)\mid \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sup}\mid\mathrm{w}\mid\mathrm{f}−\mathrm{g}\mid\mid+\mathrm{sup}\mid\mathrm{w}\left(\mathrm{f}−\mathrm{h}\right)\mid\leqslant\mathrm{sup}\mid\mathrm{w}\left(\mathrm{g},\mathrm{h}\right)\mid \\ $$$$\mathrm{d}_{\mathrm{w}} \left(\mathrm{f},\mathrm{g}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{sup}_{\mathrm{t}\in\left[\mathrm{0},\mathrm{b}\right]} \mid\mathrm{w}\left(\mathrm{t}\left(\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)−\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)\right)\mid=\mathrm{0}\right.\right. \\ $$$$\Rightarrow\forall\mathrm{t}\in\left[\mathrm{a},\mathrm{b}\right]\:\:\mathrm{w}\left(\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)−\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{t}\right)_{\mathrm{t}\in\left[\mathrm{a},\mathrm{b}\right]} \neq\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{f} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right),\mathrm{soit}\:\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \in\mathrm{C}\left[\mathrm{a},\mathrm{b}\right]\:\mathrm{une}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cauchy} \\ $$$$\Rightarrow\forall\epsilon>\mathrm{0}\:\exists\mathrm{N}\:\:\forall\mathrm{n},\mathrm{m}\geqslant\mathrm{N}\:\:\mathrm{d}\left(\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right),\mathrm{f}_{\mathrm{m}} \left(\mathrm{x}\right)\right)<\epsilon \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{suite}\:\left(\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \right)_{\mathrm{n}\in\mathbb{N}} \mathrm{numerique}\:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cauchy}\:\mathrm{sur}\mathbb{R}\:\mathrm{elle}\:\mathrm{cv} \\ $$$$\mathrm{vers}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right). \\ $$$$\mathrm{d}\left(\mathrm{f}_{\mathrm{n}} ,\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\rightarrow\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{cv}\:\mathrm{uniformement}\:\mathrm{vers}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{C}_{\left[\mathrm{a},\mathrm{b}\right]} \:\Rightarrow\left(\mathrm{X},\mathrm{d}_{\mathrm{w}} \right)\:\mathrm{complet} \\ $$$$ \\ $$