Question Number 198279 by universe last updated on 16/Oct/23
$$\:\:\mathrm{if}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{also}\:\mathrm{differentiable}\:\mathrm{on}\:\mathbb{R}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\:\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)\:>\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\forall\:\mathrm{x}\:\in\:\mathbb{R}\:{and}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)\:=\:\mathrm{0}\:\mathrm{then}\: \\ $$$$\:\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\geqslant\:\mathrm{0}\:\forall\:\mathrm{x}\:>\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 16/Oct/23
$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{0}….\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\ast\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)'\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} >\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)'>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{x}_{\mathrm{0}} } ^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)'\mathrm{dx}>\int_{\mathrm{x}_{\mathrm{0}} } ^{\mathrm{x}} \mathrm{0dx} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)\mathrm{e}_{=\mathrm{0}} ^{−\mathrm{x}_{\mathrm{0}} } \geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\forall\mathrm{x}>\mathrm{0},\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\geqslant\mathrm{0},\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} >\mathrm{0},\forall\mathrm{x}\in\left[\mathrm{x}_{\mathrm{0}} ,\infty\left[\right.\right. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$