Question Number 198420 by Mingma last updated on 19/Oct/23
Answered by Frix last updated on 19/Oct/23
$$\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{3}+\mathrm{4}{x}−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} }{dx}\:\underset{{dx}=−\frac{\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{4}{x}−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{4}{t}}} {\overset{{t}=\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{4}{x}−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}} {=}}\: \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int\frac{\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{dt}= \\ $$$$=\int\left(−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{32}\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}\left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\right){dt}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{32}\left({t}−\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}\left({t}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \:{t}}{\mathrm{4}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{5}{t}+\mathrm{4}}{\mathrm{16}\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \:{t}}{\mathrm{4}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{10}{x}+\mathrm{3}}{\mathrm{32}\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{4}{x}−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} }}+\frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{4}{x}−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}}{\mathrm{4}}+{C} \\ $$