Question Number 198443 by lapache last updated on 20/Oct/23
$${Proove}\: \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\left({xi}+{yj}\right)={m}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{xi}+{n}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}{yj} \\ $$
Answered by mr W last updated on 22/Oct/23
$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\left({x}_{{i}} +{y}_{{j}} \right) \\ $$$$=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}{x}_{{i}} +\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}{y}_{{j}} \right) \\ $$$$=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({x}_{{i}} \underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\mathrm{1}+\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}{y}_{{j}} \right) \\ $$$$=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({mx}_{{i}} +\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}{y}_{{j}} \right) \\ $$$$={m}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{i}} +\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}{y}_{{j}} \right) \\ $$$$={m}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{i}} +\left(\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}{y}_{{j}} \right)\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{1} \\ $$$$={m}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{i}} +{n}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}{y}_{{j}} \\ $$