Question Number 199194 by hardmath last updated on 29/Oct/23
$$\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{a}_{\mathrm{2}} ,… \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{2n}} =\mathrm{n}\centerdot\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{2}^{\mathrm{100}} } \:=\:? \\ $$
Answered by mr W last updated on 29/Oct/23
$${a}_{\mathrm{2}^{{n}} } ={a}_{\mathrm{2}×\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} } =\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$${a}_{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} } =\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} } \\ $$$$… \\ $$$${a}_{\mathrm{2}^{\mathrm{2}−\mathrm{1}} } =\mathrm{2}^{\mathrm{0}} {a}_{\mathrm{2}^{\mathrm{0}} } \\ $$$$\Pi: \\ $$$${a}_{\mathrm{2}^{{n}} } =\mathrm{2}^{\left({n}−\mathrm{1}\right)+\left({n}−\mathrm{2}\right)+…+\mathrm{2}+\mathrm{1}+\mathrm{0}} {a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}^{\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{\mathrm{2}^{{n}} } =\mathrm{2}^{\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{\mathrm{2}^{\mathrm{100}} } =\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{100}×\mathrm{99}}{\mathrm{2}}} =\mathrm{2}^{\mathrm{4950}} \\ $$
Commented by hardmath last updated on 29/Oct/23
$$\mathrm{perfect}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$