Question Number 199236 by SANOGO last updated on 30/Oct/23
$${calcul}\: \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{+{oo}} \frac{\mathrm{1}}{{x}^{\alpha} \:+{x}^{\beta} }{dx}\:\:\:{a}>{o} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 30/Oct/23
$$\alpha\geqslant\beta \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{a}} +\mathrm{x}^{\beta} =\mathrm{x}^{\beta} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{a}−\boldsymbol{\beta}} \right)\sim\mathrm{x}^{\beta} ,\mathrm{a}−\beta\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{integrable}\:\mathrm{if}\:\beta<\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{a}} +\mathrm{x}^{\beta} =\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\beta−\alpha} \right)\sim\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \:\mathrm{integrable}\:\mathrm{if}\:\mathrm{a}>\mathrm{1},\mathrm{in}\:\infty \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{a}} +\mathrm{x}^{\mathrm{b}} },\:\:\mathrm{a}>\mathrm{1}>\mathrm{b} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{−\mathrm{a}} \mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{b}−\mathrm{a}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{b}−\mathrm{a}} =\mathrm{t}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}−\mathrm{a}}} \\ $$$$=\int_{\infty} ^{\mathrm{0}} \frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}.\frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}−\mathrm{a}}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{b}−\mathrm{a}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$\beta\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{x}+\mathrm{y}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}.\beta\left(\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}},\mathrm{1}−\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}.\frac{\pi}{\mathrm{sin}\left(\pi\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}\right)} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\frac{\pi}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\pi\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}\right)};\mathrm{a}>\mathrm{1}>\mathrm{b} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$