Question Number 199338 by sonukgindia last updated on 01/Nov/23
Answered by aleks041103 last updated on 01/Nov/23
$$\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{{M}} } −\mathrm{1}=\left(\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{{M}−\mathrm{1}} } \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{{M}−\mathrm{1}} } +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{{M}−\mathrm{1}} } −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{M}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{{k}} } +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{{M}} } −\mathrm{1}}=\frac{\left(\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{{M}−\mathrm{1}} } +\mathrm{1}\right)\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{M}−\mathrm{2}} {\prod}}\left(\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{{k}} } +\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{{M}−\mathrm{1}} } +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{{M}−\mathrm{1}} } −\mathrm{1}\right)}=\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{M}−\mathrm{2}} {\prod}}\left(\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{{k}} } +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{{M}−\mathrm{1}} } −\mathrm{1}} \\ $$$${by}\:{induction} \\ $$$$\Rightarrow{P}=\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{\mathrm{1}} } +\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} } −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow{P}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}} \\ $$
Commented by sonukgindia last updated on 01/Nov/23
$${correct} \\ $$
Answered by MathematicalUser2357 last updated on 04/Nov/23
$$\boldsymbol{\mathrm{B}}\:\boldsymbol{\mathrm{I}}\:\boldsymbol{\mathrm{G}} \\ $$