Question Number 199331 by necx122 last updated on 01/Nov/23
$${What}\:{is}\:{the}\:{remainder}\:{when} \\ $$$$\mathrm{1}^{\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}^{\mathrm{3}} +……+\mathrm{2023}^{\mathrm{2023}} \:{is}\:{divided}\:{by}\:\mathrm{7} \\ $$
Answered by AST last updated on 01/Nov/23
![1+8^8 +15^(15) +...+2017^(2017) ≡^7 1×289≡2(mod 7) 2^2 +9^9 +16^(16) +...+2018^(2018) ≡^7 2^2 +2^9 +...+2^(2018) ≡^7 (4+8+16+32+1+2)×48+4≡^7 4 3^3 +10^(10) +17^(17) +...+2019^(2019) ≡3^3 +3^(10) +...+3^(2019) ≡^7 (3^3 +3^(10) +3^(17) +3^(24) +3^(31) +3^(38) )×48 ≡(6+4+5+1+3+2)×48+6≡6(mod 7) 4^4 +11^(11) +18^(18) +...+2020^(2020) ≡(−3)^4 +(−3)^(11) +...+(−3)^(2020) ≡ (−3)[(−3)^3 +(−3)^(10) +...+(−3)^(2019) ]≡(−3) {[−6+4−5+1−3+2]×48−6]≡^7 4 5^5 +12^(12) +19^(19) +...+2021^(2021) (−2)^5 +(−2)^(12) +(−2)^(19) +...+(−2)^(2021) (−2)^3 [(−2)^2 +(−2)^9 +...+(−2)^(2018) ] ≡(−2)^3 [(4−8+16−32+1−2)×48+4]≡3 6^6 +13^(13) +20^(20) +...+2022^(2022) ≡(−1)^6 +(−1)^(13) +...+(−1)^(2022) ≡^7 1 7^7 +14^(14) +...+2023^(2023) ≡0 ⇒sum≡2+4+6+4+3+1+0≡6(mod 7)](https://www.tinkutara.com/question/Q199336.png)
$$\mathrm{1}+\mathrm{8}^{\mathrm{8}} +\mathrm{15}^{\mathrm{15}} +…+\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}} \overset{\mathrm{7}} {\equiv}\mathrm{1}×\mathrm{289}\equiv\mathrm{2}\left({mod}\:\mathrm{7}\right) \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}^{\mathrm{9}} +\mathrm{16}^{\mathrm{16}} +…+\mathrm{2018}^{\mathrm{2018}} \overset{\mathrm{7}} {\equiv}\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{9}} +…+\mathrm{2}^{\mathrm{2018}} \\ $$$$\overset{\mathrm{7}} {\equiv}\left(\mathrm{4}+\mathrm{8}+\mathrm{16}+\mathrm{32}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)×\mathrm{48}+\mathrm{4}\overset{\mathrm{7}} {\equiv}\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}^{\mathrm{10}} +\mathrm{17}^{\mathrm{17}} +…+\mathrm{2019}^{\mathrm{2019}} \equiv\mathrm{3}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}^{\mathrm{10}} +…+\mathrm{3}^{\mathrm{2019}} \\ $$$$\overset{\mathrm{7}} {\equiv}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}^{\mathrm{10}} +\mathrm{3}^{\mathrm{17}} +\mathrm{3}^{\mathrm{24}} +\mathrm{3}^{\mathrm{31}} +\mathrm{3}^{\mathrm{38}} \right)×\mathrm{48} \\ $$$$\equiv\left(\mathrm{6}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{1}+\mathrm{3}+\mathrm{2}\right)×\mathrm{48}+\mathrm{6}\equiv\mathrm{6}\left({mod}\:\mathrm{7}\right) \\ $$$$\mathrm{4}^{\mathrm{4}} +\mathrm{11}^{\mathrm{11}} +\mathrm{18}^{\mathrm{18}} +…+\mathrm{2020}^{\mathrm{2020}} \\ $$$$\equiv\left(−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} +\left(−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{11}} +…+\left(−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2020}} \equiv \\ $$$$\left(−\mathrm{3}\right)\left[\left(−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} +\left(−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{10}} +…+\left(−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2019}} \right]\equiv\left(−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\left\{\left[−\mathrm{6}+\mathrm{4}−\mathrm{5}+\mathrm{1}−\mathrm{3}+\mathrm{2}\right]×\mathrm{48}−\mathrm{6}\right]\overset{\mathrm{7}} {\equiv}\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{5}^{\mathrm{5}} +\mathrm{12}^{\mathrm{12}} +\mathrm{19}^{\mathrm{19}} +…+\mathrm{2021}^{\mathrm{2021}} \\ $$$$\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{5}} +\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{12}} +\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{19}} +…+\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2021}} \\ $$$$\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} \left[\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{9}} +…+\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2018}} \right] \\ $$$$\equiv\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} \left[\left(\mathrm{4}−\mathrm{8}+\mathrm{16}−\mathrm{32}+\mathrm{1}−\mathrm{2}\right)×\mathrm{48}+\mathrm{4}\right]\equiv\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{6}^{\mathrm{6}} +\mathrm{13}^{\mathrm{13}} +\mathrm{20}^{\mathrm{20}} +…+\mathrm{2022}^{\mathrm{2022}} \equiv\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} +\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{13}} \\ $$$$+…+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2022}} \overset{\mathrm{7}} {\equiv}\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{7}^{\mathrm{7}} +\mathrm{14}^{\mathrm{14}} +…+\mathrm{2023}^{\mathrm{2023}} \equiv\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{sum}\equiv\mathrm{2}+\mathrm{4}+\mathrm{6}+\mathrm{4}+\mathrm{3}+\mathrm{1}+\mathrm{0}\equiv\mathrm{6}\left({mod}\:\mathrm{7}\right) \\ $$