Question Number 199382 by mokys last updated on 02/Nov/23
$${if}\:{A}\:=\:\begin{bmatrix}{{cosh}\left({x}\right)\:\:\:\:\:\:{sinh}\left({x}\right)\:}\\{{sinh}\left({x}\right)\:\:\:\:\:\:{cosh}\left({x}\right)}\end{bmatrix}{find}\:{A}^{{k}} \:? \\ $$
Answered by manxsol last updated on 02/Nov/23
$${A}^{\mathrm{2}} ={cosh}^{\mathrm{2}} −{sinh}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$${A}^{\mathrm{3}} ={A} \\ $$$${A}^{\mathrm{4}} =\mathrm{1} \\ $$$${A}^{{k}} =\begin{cases}{{A}\:\:\:\:{k}=\mathrm{2}{m}−\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:{k}=\mathrm{2}{m}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 02/Nov/23
$$\mathrm{A}=\begin{pmatrix}{\mathrm{ch}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)}\\{\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{x}\right)}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{A}^{\mathrm{2}} =\begin{pmatrix}{\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\mathrm{2sh}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ch}\left(\mathrm{x}\right)}\\{\mathrm{2sh}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ch}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{A}^{\mathrm{2}} =\begin{pmatrix}{\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)}\\{\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{claim}\:\mathrm{A}^{\mathrm{n}} =\begin{pmatrix}{\mathrm{ch}\left(\mathrm{nx}\right)\:\:\:\:\:\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{nx}\right)}\\{\mathrm{sh}\left(\mathrm{nx}\right)\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{nx}\right)}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{A}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{A}^{\mathrm{n}} .\mathrm{A}=\begin{pmatrix}{\mathrm{ch}\left(\mathrm{nx}\right)\:\:\:\:\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{nx}\right)}\\{\mathrm{sh}\left(\mathrm{nx}\right)\:\:\:\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{nx}\right)}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\mathrm{ch}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)}\\{\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{x}\right)}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{ch}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}=\mathrm{ch}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{ch}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{sh}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{sh}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}=\mathrm{sh}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{ch}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{ch}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)… \\ $$$$=\begin{pmatrix}{\mathrm{ch}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\:\:\:\:\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}}\\{\mathrm{sh}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\:\:\:\:\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}}\end{pmatrix}..\mathrm{worck} \\ $$$$\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}\:\mathrm{A}^{\mathrm{n}} =\begin{pmatrix}{\mathrm{ch}\left(\mathrm{nx}\right)\:\:\:\:\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{nx}\right)}\\{\mathrm{sh}\left(\mathrm{nx}\right)\:\:\:\:\:\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{nx}\right)}\end{pmatrix},\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R} \\ $$
Commented by MathematicalUser2357 last updated on 03/Nov/23
Hey
Is sh hyperbolic sine and ch is hyperbolic cosine?
Is sh hyperbolic sine and ch is hyperbolic cosine?
Commented by witcher3 last updated on 03/Nov/23
$$\mathrm{yes}\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{cosh}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{sinh}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{in}\:\mathrm{france}\:\mathrm{we}\:\mathrm{use}\:\mathrm{this}\:\mathrm{notation} \\ $$