Question Number 199570 by universe last updated on 05/Nov/23
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{I}\:\:\:\:\:=\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{sin}{x}\:}{\mathrm{2}}\right){dx} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 05/Nov/23
![I(a)=∫_0 ^(π/2) tan^(−1) (asin(x))dx I=I((1/2)) I(0)=0 I′(a)=∫_0 ^(π/2) ((sin(x))/(1+a^2 sin^2 (x)))dx =∫_0 ^1 (dy/(1+a^2 (1−y^2 )))dy =∫_0 ^1 (dy/( [(√(1+a^2 ))−ay][(√(a^2 +1))+ay])) =(1/(2(√(a^2 +1))))∫_0 ^1 {(1/( (√(1+a^2 ))−ay))+(1/(ay+(√(1+a^2 ))))}dy =(1/(2a(√(1+a^2 ))))ln(((a+(√(1+a^2 )))/( (√(1+a^2 ))−a)))=I′(a) I((1/2))=∫_0 ^(1/2) (1/(2a(√(1+a^2 ))))ln(((a+(√(1+a^2 )))/( (√(1+a^2 ))−a)))da a=sh(x)⇒da=ch(x)dx I=∫_0 ^(sh^− ((1/2))) (1/(2sh(x)))ln((e^x /e^(−x) ))=∫_0 ^(sh^− ((1/2))) (x/(e^x −e^(−x) ))dx =(1/2)∫_0 ^(sh^− ((1/2))) (x/(e^x −1))+(x/(e^x +1))dx=I ∫(x/(e^x −1))=xln(1−e^(−x) )−∫((ln(1−e^(−x) )de^(−x) )/e^(−x) ) =xln(1−e^(−x) )−Li_2 (e^(−x) ) ∫(x/(e^x +1))dx=−xln(e^(−x) +1)+Li_2 (−e^(−x) ) I=(1/2)(sh^− ((1/2))ln(1−e^(−sh^− ((1/2))) )−Li_2 (e^(−sh^− ((1/2))) ) −sh^− ((1/2))ln(1+e^(−sh^− ((1/2))) )+Li_2 (−e^(−sh^− ((1/2))) )+Li_2 (1)−Li_2 (−1) =(1/(12))(π^2 −6sinh^− (2)csch^− (2))](https://www.tinkutara.com/question/Q199589.png)
$$\mathrm{I}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{I}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{I}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{I}'\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dy} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dy}}{\:\left[\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{ay}\right]\left[\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mathrm{ay}\right]} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left\{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{ay}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ay}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\right\}\mathrm{dy} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{a}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{a}}\right)=\mathrm{I}'\left(\mathrm{a}\right) \\ $$$$\mathrm{I}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{a}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{a}}\right)\mathrm{da} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)\Rightarrow\mathrm{da}=\mathrm{ch}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{sh}^{−} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2sh}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{sh}^{−} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{sh}^{−} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\mathrm{I} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}=\mathrm{xln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)−\int\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)\mathrm{de}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} } \\ $$$$=\mathrm{xln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right) \\ $$$$\int\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}=−\mathrm{xln}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{1}\right)+\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right) \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{sh}^{−} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{sh}^{−} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \right)−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{e}^{−\mathrm{sh}^{−} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \right)\right. \\ $$$$−\mathrm{sh}^{−} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{sh}^{−} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \right)+\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{e}^{−\mathrm{sh}^{−} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \right)+\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)−\boldsymbol{\mathrm{L}}\mathrm{i}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\left(\pi^{\mathrm{2}} −\mathrm{6sinh}^{−} \left(\mathrm{2}\right)\mathrm{csch}^{−} \left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$