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If-x-7-4-3-Find-x-4-x-3-9x-2-2x-5-x-2-4x-3-

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Question Number 199550 by hardmath last updated on 05/Nov/23
If x = (√(7 + 4(√3))) Find: ((x^4 − x^3 − 9x^2 − 2x + 5)/(x^2 − 4x + 3)) = ?
$$\mathrm{If} \\ $$$$\mathrm{x}\:=\:\sqrt{\mathrm{7}\:+\:\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{Find}: \\ $$$$\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2x}\:+\:\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4x}\:+\:\mathrm{3}}\:\:=\:\:? \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Nov/23
x = (√(7 + 4(√3))) ; ((x^4 − x^3 − 9x^2 − 5x + 5)/(x^2 − 4x + 3)) = ? x= (√(7 + 4(√3))) =2+(√(3 ))^★ •x=2+(√(3 )) (x−2)^2 =3 x^2 −4x+1=0 •x^2 =4x−1 •x^3 =4x^2 −x=4(4x−1)−x=15x−4 •x^4 =15x^2 −4x=15(4x−1)−4x=56x−15 ((x^4 −x^3 −9x^2 −5x+5)/(x^2 −4x+3)) =(((56x−15)−(15x−4)−9(4x−1)−5x+5)/((4x−1)−4x+3)) =((56x−15−15x+4−36x+9−5x+5)/(4x−1−4x+3)) =((41x−15+4−41x+9−5x+5)/(4x−1−4x+3))=((−11+14)/2)=(3/2)
$$\mathrm{x}\:=\:\sqrt{\mathrm{7}\:+\:\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\:\:;\:\:\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{5x}\:+\:\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4x}\:+\:\mathrm{3}}\:\:=\:? \\ $$$$\mathrm{x}=\:\sqrt{\mathrm{7}\:+\:\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}\:}\:^{\bigstar} \\ $$$$\bullet\mathrm{x}=\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}\:}\: \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\bullet\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4x}−\mathrm{1} \\ $$$$\bullet\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}=\mathrm{4}\left(\mathrm{4x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{x}=\mathrm{15x}−\mathrm{4} \\ $$$$\bullet\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{15x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}=\mathrm{15}\left(\mathrm{4x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{4x}=\mathrm{56x}−\mathrm{15} \\ $$$$\: \\ $$$$\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\left(\mathrm{56x}−\mathrm{15}\right)−\left(\mathrm{15x}−\mathrm{4}\right)−\mathrm{9}\left(\mathrm{4x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{5x}+\mathrm{5}}{\left(\mathrm{4x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{4x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{56x}−\mathrm{15}−\mathrm{15x}+\mathrm{4}−\mathrm{36x}+\mathrm{9}−\mathrm{5x}+\mathrm{5}}{\mathrm{4x}−\mathrm{1}−\mathrm{4x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{41x}−\mathrm{15}+\mathrm{4}−\mathrm{41x}+\mathrm{9}−\mathrm{5x}+\mathrm{5}}{\mathrm{4x}−\mathrm{1}−\mathrm{4x}+\mathrm{3}}=\frac{−\mathrm{11}+\mathrm{14}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 06/Nov/23
^★ x=(√(7+4(√3))) =a+b(√3) a^2 +3b^2 +2ab(√3) =7+4(√3) a^2 +3b^2 =7 ∧ ab=2⇒b=2/a a^2 +3((2/a))^2 =7 a^4 −7a^2 +12 a^2 =((7±(√(49−48)))/2)=4,3^(×) ⇒a=±2⇒b=±1 x= (√(7 + 4(√3))) =2+(√(3 )) , −2−(√3) (Rejected)
$$\:^{\bigstar} \\ $$$$\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\sqrt{\mathrm{3}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2ab}\sqrt{\mathrm{3}}\:=\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7}\:\wedge\:\mathrm{ab}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{2}/\mathrm{a} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{7} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{7a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{7}\pm\sqrt{\mathrm{49}−\mathrm{48}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{4},\overset{×} {\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{a}=\pm\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{b}=\pm\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}=\:\sqrt{\mathrm{7}\:+\:\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}\:}\:,\:−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\:\left({Rejected}\right) \\ $$
Answered by AST last updated on 05/Nov/23
((x^4 −x^3 −9x^2 −2x+5=x^2 (x^2 −4x+3)+3x(x^2 −4x+3)+5−14x)/(x^2 −4x+3)) =x^2 +3x+((5−14x)/((x−1)(x−3))) =7+4(√3)+3(2+(√3))+((−23−14(√3))/2)=1.5=(3/2)
$$\frac{{x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}={x}^{\mathrm{2}} \left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{3}\right)+\mathrm{3}{x}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{3}\right)+\mathrm{5}−\mathrm{14}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{3}} \\ $$$$={x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\frac{\mathrm{5}−\mathrm{14}{x}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)} \\ $$$$=\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)+\frac{−\mathrm{23}−\mathrm{14}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{1}.\mathrm{5}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by hardmath last updated on 05/Nov/23
Sorry professor: ((x^4 − x^3 − 9x^2 − 5x + 5)/(x^2 − 4x + 3))
$$\mathrm{Sorry}\:\mathrm{professor}: \\ $$$$\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{5x}\:+\:\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4x}\:+\:\mathrm{3}} \\ $$
Commented by hardmath last updated on 05/Nov/23
thank you professor
$${thank}\:{you}\:{professor} \\ $$

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