Question Number 199707 by SANOGO last updated on 08/Nov/23
$${study}\:{the}\:{convergence} \\ $$$$\underset{{n}\geqslant{o}} {\overset{} {\sum}}{sin}\left(\pi\sqrt{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\:\:\:\:}\right. \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 09/Nov/23
$$\sqrt{\mathrm{4n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}=\mathrm{2n}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} }}\right)=\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} }}−\mathrm{2}\pi\mathrm{n}\right) \\ $$$$=\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{n}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} }}−\mathrm{1}\right)\right. \\ $$$$\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} }}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} \left(\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} }}+\mathrm{1}\right)}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\mathrm{0}\right)\leqslant\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} }}−\mathrm{2}\pi\mathrm{n}\right)\leqslant\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} }\right)\leqslant\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{positiv}\:\mathrm{serie} \\ $$$$\mathrm{2}\pi\mathrm{n}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} }}\right)−\mathrm{2}\pi\mathrm{n} \\ $$$$=\mathrm{2}\pi\mathrm{n}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)=\frac{\pi}{\mathrm{n}}+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\right. \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{n}}+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\right)\sim\frac{\pi}{\mathrm{n}};\Sigma\frac{\pi}{\mathrm{n}}\:\:\mathrm{dv}\Rightarrow\Sigma\mathrm{sin}\left(\pi\sqrt{\mathrm{4n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\right)\:\mathrm{dv} \\ $$