for-x-y-z-N-if-38x-40y-41z-520-find-x-y-z-

Question Number 200321 by mr W last updated on 17/Nov/23

$${for}\:{x},{y},{z}\:\in{N},\:{if} \\ $$$$\mathrm{38}{x}+\mathrm{40}{y}+\mathrm{41}{z}=\mathrm{520} \\ $$$${find}\:{x}+{y}+{z}=? \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 17/Nov/23

$$\mathrm{520}−\mathrm{38}{x}−\mathrm{40}{y}=\mathrm{41}{z} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{41}\mid\:\left(\mathrm{520}−\mathrm{38}{x}−\mathrm{40}{y}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{520}−\mathrm{38}{x}−\mathrm{40}{y}\equiv\mathrm{0}\left({mod}\:\mathrm{41}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{28}+\mathrm{3}{x}+{y}\equiv\mathrm{0}\left({mod}\:\mathrm{41}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}{x}+{y}\equiv−\mathrm{28}\left({mod}\:\mathrm{41}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}{x}+{y}\equiv\mathrm{13}\left({mod}\:\mathrm{41}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\wedge\:{z}=\frac{\mathrm{520}−\mathrm{38}{x}−\mathrm{40}{y}}{\mathrm{41}}\:\wedge\:\underset{\Rightarrow\mathrm{19}{x}+\mathrm{20}{y}\leqslant\mathrm{260}} {\mathrm{38}{x}+\mathrm{40}{y}\leqslant\mathrm{520}}\: \\ $$$$\underset{{z}} {\left({x},{y}\right)}\underset{=} {=}\underset{\mathrm{2}} {\left(\mathrm{1},\mathrm{10}\right)}\underset{,} {,}\underset{\mathrm{4}} {\left(\mathrm{2},\mathrm{7}\right)}\underset{,} {,}\underset{\mathrm{6}} {\left(\mathrm{3},\mathrm{4}\right)}\underset{,} {,}\underset{\mathrm{8}} {\left(\mathrm{4},\mathrm{1}\right)},\underset{\mathrm{10}} {\overset{×} {\left(\mathrm{5},−\mathrm{2}\right)}},…\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$${x}+{y}+{z}=\mathrm{13}\checkmark \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 17/Nov/23

$$\mathrm{38}{x}+\mathrm{40}{y}+\mathrm{41}{z}=\mathrm{520} \\ $$$$\mathrm{40}{x}+\mathrm{40}{y}+\mathrm{40}{z}−\mathrm{2}{x}+{z}=\mathrm{520} \\ $$$$\mathrm{40}{x}+\mathrm{40}{y}+\mathrm{40}{z}=\mathrm{520}+\mathrm{2}{x}−{z} \\ $$$${x}+{y}+{z}=\frac{\mathrm{520}+\mathrm{2}{x}−{z}}{\mathrm{40}}=\mathrm{13}+\frac{\mathrm{2}{x}−{z}}{\mathrm{40}} \\ $$$${Hence}\:{we}'{ve}\:{to}\:{determine}\:\mathrm{13}+\frac{\mathrm{2}{x}−{z}}{\mathrm{40}}\in\mathbb{N} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{13}+\frac{\mathrm{2}{x}−{z}}{\mathrm{40}}\in\mathbb{N}\Rightarrow\mathrm{40}\:\mid\:\mathrm{2}{x}−{z} \\ $$$$\mathrm{2}{x}−{z}=\mathrm{40}{k}\Rightarrow{x}=\mathrm{20}{k}+\frac{{z}}{\mathrm{2}}\in\mathbb{N}\Rightarrow{z}\:{is}\:{even} \\ $$$${z}=\mathrm{2}{k} \\ $$$$\mathrm{13}+\frac{\mathrm{2}{x}−{z}}{\mathrm{40}}=\mathrm{13}+\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{k}}{\mathrm{40}}=\mathrm{13}+\frac{{x}−{k}}{\mathrm{20}} \\ $$$${x}−{k}=\mathrm{0},\mathrm{20},\mathrm{40},\mathrm{60},…. \\ $$$${x}+{y}+{z}=\mathrm{13}+\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{20}} \\ $$$${x}={k},\mathrm{20}+{k},\mathrm{40}+{k},… \\ $$$${z}=\mathrm{2}{k},\mathrm{40}+\mathrm{2}{k},\mathrm{80}+\mathrm{2}{k},… \\ $$$${Continue} \\ $$$$…. \\ $$

Answered by ajfour last updated on 17/Nov/23

$${s}={x}+{y}+{z} \\ $$$${z}<\frac{\mathrm{520}−\mathrm{78}}{\mathrm{41}}\:\:\:\Rightarrow\:{z}<\mathrm{11} \\ $$$${x}<\frac{\mathrm{520}−\mathrm{81}}{\mathrm{38}}\:\:\Rightarrow\:{x}<\mathrm{12} \\ $$$${y}<\frac{\mathrm{520}−\mathrm{79}}{\mathrm{40}}\:\:\Rightarrow\:\:{y}<\mathrm{12} \\ $$$$\mathrm{38}{x}+\mathrm{40}{y}+\mathrm{41}\left({s}−{x}−{y}\right)=\mathrm{520} \\ $$$$\mathrm{3}{x}+{y}=\mathrm{41}{s}−\mathrm{520}\geqslant\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\:\:{s}>\frac{\mathrm{524}}{\mathrm{41}}\:\:\:\:\Rightarrow\:\:{s}=\mathrm{13},\mathrm{14},\:… \\ $$$$\mathrm{3}{x}+{y}=\mathrm{41}\left({s}−\mathrm{13}\right)+\mathrm{13} \\ $$$${s}=\mathrm{13}+\frac{\mathrm{3}{x}+{y}−\mathrm{13}}{\mathrm{41}} \\ $$$$\mathrm{4}\leqslant\:\mathrm{3}{x}+{y}\:\leqslant\mathrm{36} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{3}{x}+{y}=\mathrm{13} \\ $$$${s}=\mathrm{13} \\ $$

Answered by mr W last updated on 17/Nov/23

$${alternative}: \\ $$$$\mathrm{38}{x}+\mathrm{40}{y}+\mathrm{41}{z}=\mathrm{520} \\ $$$$\mathrm{38}\left({x}+{y}+{z}\right)=\mathrm{520}−\mathrm{2}{y}−\mathrm{3}{z}<\mathrm{520} \\ $$$$\Rightarrow{x}+{y}+{z}<\frac{\mathrm{520}}{\mathrm{38}}=\mathrm{13}\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{19}}\leqslant\mathrm{13}\:\:\:\:…\left({i}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{41}\left({x}+{y}+{z}\right)=\mathrm{520}+\mathrm{3}{x}+{y}>\mathrm{520} \\ $$$$\Rightarrow{x}+{y}+{z}>\frac{\mathrm{520}}{\mathrm{41}}=\mathrm{12}\frac{\mathrm{38}}{\mathrm{41}}\geqslant\mathrm{13}\:\:\:…\left({ii}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow{x}+{y}+{z}=\mathrm{13} \\ $$

Answered by witcher3 last updated on 17/Nov/23

$$\mathrm{38x}+\mathrm{40y}+\mathrm{41z}=\mathrm{520} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{z}=\mathrm{0}\left[\mathrm{2}\right]\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{2z}' \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{19x}+\mathrm{20y}+\mathrm{41z}'=\mathrm{260} \\ $$$$\mathrm{19}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{2z}'\right)+\mathrm{3z}'+\mathrm{y}=\mathrm{260} \\ $$$$\mathrm{19}\left(\mathrm{a}\right)+\mathrm{3z}'+\mathrm{y}=\mathrm{260} \\ $$$$\mathrm{3z}'+\mathrm{y}=\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{19a}\geqslant\mathrm{12b} \\ $$$$\mathrm{b}\leqslant\frac{\mathrm{19a}}{\mathrm{12}} \\ $$$$\mathrm{19a}+\mathrm{b}\leqslant\mathrm{19a}.\left(\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{12}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}\geqslant\frac{\mathrm{12}.\mathrm{260}}{\mathrm{19}.\mathrm{13}} \\ $$$$\mathrm{a}\geqslant\frac{\mathrm{12}.\mathrm{20}}{\mathrm{19}} \\ $$$$\mathrm{a}\geqslant\mathrm{13} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{13}\Rightarrow\mathrm{19}.\mathrm{13}+\left(\mathrm{3z}'+\mathrm{y}\right)=\mathrm{260} \\ $$$$\mathrm{3z}'+\mathrm{y}=\mathrm{260}−\mathrm{247}=\mathrm{13} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{14} \\ $$$$\mathrm{19}.\mathrm{14}+\left(\mathrm{3z}'+\mathrm{y}\right)=\mathrm{260}\Rightarrow\mathrm{3z}'+\mathrm{y}=−\mathrm{6}\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{13} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=\mathrm{13} \\ $$$$\mathrm{3z}'+\mathrm{y}=\mathrm{13} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{z}'=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{z}' \\ $$$$\mathrm{2x}=\mathrm{z} \\ $$

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