Question Number 200417 by hardmath last updated on 18/Nov/23
$$\mathrm{find}:\:\:\:\Omega\:=\:\int_{\mathrm{1}} ^{\:\infty} \:\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{\left(\mathrm{1}\:+\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\:\mathrm{dx}\:=\:? \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 18/Nov/23
$$\sqrt{\mathrm{x}}=\mathrm{y} \\ $$$$=\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{4}} \right)}\mathrm{dy} \\ $$$$=\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} −\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}\mathrm{dy} \\ $$$$ \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2y}−\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2y}+\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}\mathrm{dy} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dy}}{\left(\mathrm{y}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dy}}{\left(\mathrm{y}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}\right)}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left[\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{1}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}\right)}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left[\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$$\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\: \\ $$$$\frac{\pi}{\:\mathrm{2}\sqrt{\:\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\left.\mathrm{2}\right)}\right.}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by hardmath last updated on 19/Nov/23
$${thank}\:{you}\:{dear}\:{professor} \\ $$