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fund-n-1-3-1-n-n-n-x-n-

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Question Number 200446 by hardmath last updated on 18/Nov/23
fund Σ_(n=1) ^∞ (((3 + (−1)^n )^n )/n) x^n = ?
$${fund}\:\:\:\underset{\boldsymbol{{n}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\left(\mathrm{3}\:+\:\left(−\mathrm{1}\right)^{\boldsymbol{{n}}} \right)^{\boldsymbol{{n}}} }{{n}}\:{x}^{\boldsymbol{{n}}} \:=\:? \\ $$
Answered by mr W last updated on 19/Nov/23
Σ_(n=1) ^∞ x^(2n) =(x^2 /(1−x^2 )) Σ_(n=1) ^∞ ∫_0 ^x x^(2n) dx=∫_0 ^x ((x^2 dx)/(1−x^2 )) Σ_(n=1) ^∞ (x^(2n+1) /(2n+1))dx=∫_0 ^x ((1/(1−x^2 ))−1)dx=(1/2)ln ((1+x)/(1−x))−x Σ_(n=0) ^∞ (x^(2n+1) /(2n+1))dx=(1/2)ln ((1+x)/(1−x)) ⇒Σ_(n=0) ^∞ (((2x)^(2n+1) )/(2n+1))dx=(1/2)ln ((1+2x)/(1−2x)) Σ_(n=1) ^∞ x^(2n−1) =(x/(1−x^2 )) Σ_(n=1) ^∞ ∫_0 ^3 x^(2n−1) dx=∫_0 ^x (x/(1−x^2 ))dx Σ_(n=1) ^∞ (x^(2n) /(2n))=(1/2)ln (1/(1−x^2 )) ⇒Σ_(n=1) ^∞ (((4x)^(2n) )/(2n))=(1/2)ln (1/(1−16x^2 )) Σ_(n=1) ^∞ (((3+(−1)^n )^n x^n )/n) =Σ_(n=0) ^∞ ((2^(2n+1) x^(2n+1) )/(2n+1))+Σ_(n=1) ^∞ ((4^(2n) x^(2n) )/(2n)) =Σ_(n=0) ^∞ (((2x)^(2n+1) )/(2n+1))+Σ_(n=1) ^∞ (((4x)^(2n) )/(2n)) =(1/2)ln ((1+2x)/(1−2x))+(1/2)ln (1/(1−16x^2 )) =(1/2)ln ((1+2x)/((1−2x)(1−16x^2 ))) ✓
$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{x}^{\mathrm{2}{n}} =\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} {x}^{\mathrm{2}{n}} {dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \frac{{x}^{\mathrm{2}} {dx}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}\right){dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}−{x} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{2}{x}\right)^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}} \\ $$$$ \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{x}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} =\frac{{x}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} {x}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} {dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \frac{{x}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}{n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{4}{x}\right)^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}{n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{16}{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{3}+\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \right)^{{n}} {x}^{{n}} }{{n}} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}} {x}^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}{n}} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{2}{x}\right)^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{4}{x}\right)^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}{n}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{16}{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{16}{x}^{\mathrm{2}} \right)}\:\checkmark \\ $$
Commented by hardmath last updated on 19/Nov/23
perfect my dear professor thank you so much
$${perfect}\:{my}\:{dear}\:{professor}\:{thank}\:{you}\:{so}\:{much} \\ $$

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