Question Number 200415 by Mingma last updated on 18/Nov/23
Answered by witcher3 last updated on 18/Nov/23
$$\Leftrightarrow\underset{\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(−\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}\left(\mathrm{x}−\mathrm{h}\right)}{\mathrm{x}−\left(\mathrm{x}−\mathrm{h}\right)}\right)=−\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow−\mathrm{f}''\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!} \\ $$$$=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{f}''\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{f}''\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\Rightarrow\mathrm{f}''\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{acos}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{bsin}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{bcos}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{f}''\left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{a}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{bsin}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)+\left(\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}\left(\mathrm{b}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4b}+\mathrm{4}+\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{b}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{2};\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2sin}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{uniforlmly}\:\mathrm{continus}\:\mathrm{in}\:\mathbb{R}\:\mathrm{cause}\:\mathrm{periodic}\: \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{continus}\:\mathrm{in}\:\left[\mathrm{0},\mathrm{2}\pi\right]\:\Rightarrow\mathrm{uniformly}\:\mathrm{continus} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Mingma last updated on 19/Nov/23
Perfect