Question Number 200657 by cherokeesay last updated on 21/Nov/23
Answered by Frix last updated on 21/Nov/23
$$\mathrm{3}\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{27}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{24}{x}+\frac{\mathrm{28}}{\mathrm{3}}}=\mathrm{4}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{81}{x}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{3}\sqrt[{\mathrm{4}}]{\frac{\mathrm{81}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{72}{x}+\mathrm{28}}{\mathrm{3}}}=\mathrm{4}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{81}{x}−\mathrm{2}}{\mathrm{2}}} \\ $$$${x}=\frac{{t}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\mathrm{3}\sqrt[{\mathrm{4}}]{\frac{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}{t}+\mathrm{28}}{\mathrm{3}}}=\mathrm{4}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{9}{t}−\mathrm{2}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{Now}\:\mathrm{I}'\mathrm{m}\:\mathrm{looking}\:\mathrm{for}\:\mathrm{both}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{to}\:\mathrm{vanish}. \\ $$$$\mathrm{Starting}\:\mathrm{with}\:\frac{\mathrm{9}{t}−\mathrm{2}}{\mathrm{2}}={n}^{\mathrm{3}} \:\Leftrightarrow\:\mathrm{9}{t}=\mathrm{2}\left({n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right). \\ $$$$\mathrm{Very}\:\mathrm{obviously}\:{t}={n}=\mathrm{2}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{solution}. \\ $$$$\mathrm{3}\sqrt[{\mathrm{4}}]{\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}×\mathrm{2}+\mathrm{28}}{\mathrm{3}}}=\mathrm{4}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{9}×\mathrm{2}−\mathrm{2}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{3}\sqrt[{\mathrm{4}}]{\frac{\mathrm{48}}{\mathrm{3}}}=\mathrm{4}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{3}×\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{16}}=\mathrm{4}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{3}×\mathrm{2}=\mathrm{4}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{True} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}} \\ $$