Question-200691

Question Number 200691 by sonukgindia last updated on 22/Nov/23

Commented by aleks041103 last updated on 22/Nov/23

$${a},{b}\in\mathbb{Z}? \\ $$$${or}\:{just}\:{a},{b}\in\mathbb{R} \\ $$

Answered by witcher3 last updated on 22/Nov/23

if b≥0=x^(2b) −x^b +1∼1 f(x)=(x^a /(x^(2b) −x^b +1))∼x^a integrable if a+1>0 a>−1=in ∞ x^(2b) −x^b +1∼x^(2b) f(x)∼x^(a−2b) integrabl if 2b−a>1 2b>a+1 since b>0 ∣2b∣>∣a+1∣ b<0 x^(2b) −x^b +1∼x^(2b) in zero f(x)∼x^(a−2b) integrabl ⇔ a−2b>1 in ∞ f(x)=∼x^a [integrabl if a<−1 2b<a+1<0 ⇒∣2b∣>∣a+1∣ ⇔∀(a,b)∈R ∣2b∣>∣a+1∣ f(x)=∫_0 ^∞ (x^a /(x^(2b) −x^b +1))dx=∫_0 ^∞ ((x^a (x^b +1))/(x^(3b) +1))dx x^(3b) =t=∫_0 ^∞ ((t^((a+b)/(3b)) +t^(a/(3b)) )/(1+t)).(t^((1/(3b))−1) /(1+t))dt =∫_0 ^∞ ((t^(((a+b+1)/(3b))−1) +t^(((a+1)/(3b))−1) )/(1+t))=β(((a+b+1)/(3b)),1−((a+b+1)/(3b))) +β(((a+1)/(3b)),1−((a+1)/(3b)))=π((1/(sin(((π(a+1))/(3b)))))+(1/(sin((π/(3b))(a+b+1))))

$$\mathrm{if}\:\mathrm{b}\geqslant\mathrm{0}=\mathrm{x}^{\mathrm{2b}} −\mathrm{x}^{\mathrm{b}} +\mathrm{1}\sim\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{a}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2b}} −\mathrm{x}^{\mathrm{b}} +\mathrm{1}}\sim\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \:\mathrm{integrable}\:\mathrm{if}\:\:\mathrm{a}+\mathrm{1}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}>−\mathrm{1}=\mathrm{in}\:\infty\:\mathrm{x}^{\mathrm{2b}} −\mathrm{x}^{\mathrm{b}} +\mathrm{1}\sim\mathrm{x}^{\mathrm{2b}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sim\mathrm{x}^{\mathrm{a}−\mathrm{2b}} \:\mathrm{integrabl}\:\mathrm{if}\:\:\mathrm{2b}−\mathrm{a}>\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2b}>\mathrm{a}+\mathrm{1}\:\mathrm{since}\:\mathrm{b}>\mathrm{0}\:\mid\mathrm{2b}\mid>\mid\mathrm{a}+\mathrm{1}\mid \\ $$$$\mathrm{b}<\mathrm{0}\: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2b}} −\mathrm{x}^{\mathrm{b}} +\mathrm{1}\sim\mathrm{x}^{\mathrm{2b}} \:\mathrm{in}\:\mathrm{zero} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sim\mathrm{x}^{\mathrm{a}−\mathrm{2b}} \:\mathrm{integrabl}\:\Leftrightarrow\:\mathrm{a}−\mathrm{2b}>\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{in}\:\infty\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sim\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \left[\mathrm{integrabl}\:\mathrm{if}\:\mathrm{a}<−\mathrm{1}\right. \\ $$$$\mathrm{2b}<\mathrm{a}+\mathrm{1}<\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mid\mathrm{2b}\mid>\mid\mathrm{a}+\mathrm{1}\mid\:\:\Leftrightarrow\forall\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in\mathbb{R}\:\mid\mathrm{2b}\mid>\mid\mathrm{a}+\mathrm{1}\mid \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{a}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2b}} −\mathrm{x}^{\mathrm{b}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{b}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{3b}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3b}} =\mathrm{t}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{3b}}} +\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{3b}}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}.\frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3b}}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{1}}{\mathrm{3b}}−\mathrm{1}} +\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{3b}}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}=\beta\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{1}}{\mathrm{3b}},\mathrm{1}−\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{1}}{\mathrm{3b}}\right) \\ $$$$+\beta\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{3b}},\mathrm{1}−\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{3b}}\right)=\pi\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\left(\frac{\pi\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3b}}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3b}}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{1}\right)\right.}\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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