Question Number 200873 by cortano12 last updated on 25/Nov/23
Commented by witcher3 last updated on 26/Nov/23
$$\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}\right)\in\left[−\sqrt{\mathrm{3}},\sqrt{\mathrm{3}}\right] \\ $$$$\mathrm{tg}\left(\mathrm{3}.\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{3tg}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{tg}^{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{3tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\sqrt{\mathrm{3}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}\right)}=\mathrm{2}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\sqrt{\mathrm{3}−\left[\frac{\mathrm{3tan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{3tan}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}\right]^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{3cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}=\frac{\mathrm{3}+\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2tg}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\sqrt{\mathrm{3}−\left[\frac{\left(\mathrm{3a}−\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{3a}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\right]^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{3}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2a}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{9a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{6a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{9a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{6}} −\mathrm{6a}^{\mathrm{4}} \right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{3a}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{6a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}\right)}{\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{y} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{−\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{33y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{27y}+\mathrm{3}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{3y}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6y}+\mathrm{9}}{\mathrm{4y}} \\ $$$$\mathrm{4y}\left(−\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{33y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{27y}+\mathrm{3}\right)=\left(\mathrm{9y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6y}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6y}+\mathrm{9}\right) \\ $$$$\mathrm{9y}^{\mathrm{4}} +\mathrm{48y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{46y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48y}+\mathrm{9}=−\mathrm{4y}^{\mathrm{4}} +\mathrm{132y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{108y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12y} \\ $$$$\mathrm{13y}^{\mathrm{4}} −\mathrm{84y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{154y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{60y}+\mathrm{9}=\mathrm{0}…\mathrm{P} \\ $$$$\mathrm{In}\:\mathbb{Z}/\mathrm{3}\mathbb{Z}\:\Rightarrow\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} \equiv\mathrm{0}\left[\mathrm{3}\right]\Rightarrow\mathrm{3}\mid\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{3}\:\mathrm{is}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\mathrm{P} \\ $$$$\mathrm{13y}^{\mathrm{4}} −\mathrm{84y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{154y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{60y}+\mathrm{9} \\ $$$$=\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{13y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6y}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{only}\:\mathrm{one}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{over}\mathbb{R} \\ $$$$\mathrm{a}=\underset{−} {+}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\sqrt{\mathrm{3}}\Rightarrow\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}+\mathrm{2k}\pi..\mathrm{worck} \\ $$$$\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=−\sqrt{\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}+\mathrm{2k}\pi…\mathrm{not}\:\mathrm{worcking} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by Frix last updated on 26/Nov/23
$${c}=\mathrm{cos}\:{x} \\ $$$$\sqrt{\left(\mathrm{1}−{c}\right)\left(\mathrm{1}+{c}\right)}\sqrt{\mathrm{3}−\frac{\left(\mathrm{1}−{c}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{c}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+{c}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{c}\right)^{\mathrm{2}} }}−{c}=\mathrm{2} \\ $$$${c}\neq−\mathrm{1}\wedge{c}\neq\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{1}−{c}}\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{8}{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6}{c}+\mathrm{1}\right)}=\left(\mathrm{2}+{c}\right)\mid\mathrm{1}−\mathrm{2}{c}\mid \\ $$$${c}^{\mathrm{4}} −\frac{{c}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{11}{c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{20}}+\frac{{c}}{\mathrm{10}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({c}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \left({c}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{6}{c}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${c}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:{x}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x}=\mathrm{2}{n}\pi\pm\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{Testing}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{2}{n}\pi+\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}} \\ $$