Question Number 201253 by mathlove last updated on 02/Dec/23
$${find}\:{the}\:{sum}\:{of}\:{n}\:{terms}\:{of}\:{the}\:{serice} \\ $$$${s}_{{n}} =\mathrm{5}+\mathrm{11}+\mathrm{19}+\mathrm{29}+\mathrm{41}+………. \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 02/Dec/23
$$\left(\mathrm{4}+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{9}+\mathrm{2}\right)+\left(\mathrm{16}+\mathrm{3}\right)+\left(\mathrm{25}+\mathrm{4}\right)+.. \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)+\left(\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)+\left(\mathrm{5}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right)+… \\ $$$${General}\:{term}:\:\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +{k} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{k}+\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\Sigma}}{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\Sigma}}{k}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\Sigma}}\mathrm{1} \\ $$$$\:\:=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}+\mathrm{3}\left(\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\right)+{n} \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{9}{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{6}{n}}{\mathrm{6}} \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}+\mathrm{9}\right)+\mathrm{6}{n}}{\mathrm{6}} \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{10}\right)+\mathrm{6}{n}}{\mathrm{6}} \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{5}\right)+\mathrm{3}{n}}{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{n}+\mathrm{5}\right)+\mathrm{3}{n}}{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{n}+\mathrm{5}+\mathrm{3}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{n}+\mathrm{8}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{4}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$
Commented by mathlove last updated on 03/Dec/23
$${thanks} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Dec/23
$${s}_{{n}} =\mathrm{5}+\mathrm{11}+\mathrm{19}+\mathrm{29}+\mathrm{41}+………. \\ $$$$\:\:\:\:=\left(\mathrm{4}+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{9}+\mathrm{2}\right)+\left(\mathrm{16}+\mathrm{3}\right)+\left(\mathrm{25}+\mathrm{4}\right)+… \\ $$$$\:\:\:=\left(\mathrm{4}+\mathrm{9}+\mathrm{16}+…\right)+\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+…\right) \\ $$$$\:\:\:=\left(\underset{\left({n}+\mathrm{1}\right)\:{terms}} {\mathrm{1}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +…}−\mathrm{1}\right)+\left(\underset{{n}\:{terms}} {\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+…}\right) \\ $$$$\mathcal{F}{ormulas}: \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+…+\mathrm{N}=\frac{\mathrm{N}\left(\mathrm{N}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{1}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}^{\mathrm{2}} +…+\mathrm{N}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{N}\left(\mathrm{N}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{N}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2N}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}−\mathrm{1}+\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)}{\mathrm{6}}−\mathrm{1}+\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)−\mathrm{6}+\mathrm{3}{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)+\mathrm{3}{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{6}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left\{\left({n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)+\mathrm{3}{n}\right\}−\mathrm{6}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left\{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{n}+\mathrm{4}{n}+\mathrm{6}+\mathrm{3}{n}\right\}−\mathrm{6}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10}{n}+\mathrm{6}\right)−\mathrm{6}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{n}+\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10}{n}+\mathrm{6}−\mathrm{6}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{12}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{16}{n}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:=\frac{{n}\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{n}+\mathrm{8}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{4}\right)}{\mathrm{3}}\:\left(\checkmark\right) \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Dec/23
$$\:\mathcal{N}{ow}\:\mathcal{OK}! \\ $$