Question Number 201329 by MrGHK last updated on 04/Dec/23
Answered by witcher3 last updated on 04/Dec/23
$$=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\underset{\mathrm{m}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{m}+\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}.\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{m}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tg}\left(\mathrm{t}\right)\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}}−\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\mathrm{t}\right)\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{t}\right)\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\underset{\mathrm{n}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\underset{\mathrm{m}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}} }{\mathrm{m}+\mathrm{2n}+\mathrm{2}}=\frac{\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}} \\ $$
Commented by MrGHK last updated on 05/Dec/23
$${wonderful} \\ $$
Commented by witcher3 last updated on 05/Dec/23
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$