Question Number 201430 by hardmath last updated on 06/Dec/23
$$\mathrm{Find}: \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{35}}\:+\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{63}}\:+\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{99}}\:+\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{143}}\:=\:? \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 06/Dec/23
$$\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}\left(\mathrm{4}\right)+\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathcal{G}{eneral}\:{term}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{4}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{4}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}\right)} \\ $$$$\mathcal{P}{artial}\:{fraction}: \\ $$$$\frac{{a}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}}+\frac{{b}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}\right)} \\ $$$${a}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}\right)+{b}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2}{an}+\mathrm{2}{nb}+\mathrm{5}{a}+\mathrm{3}{b}=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{2}{a}+\mathrm{2}{b}\right){n}+\left(\mathrm{5}{a}+\mathrm{3}{b}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2}{a}+\mathrm{2}{b}=\mathrm{0}\:\wedge\:\mathrm{5}{a}+\mathrm{3}{b}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:{b}=−{a}\:\:\:\:\:\wedge\:\mathrm{5}{a}−\mathrm{3}{a}=\mathrm{1}\Rightarrow{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}\right)}=\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}}+\frac{−\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{4}} {\sum}}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}}\right)\right\} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{4}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}}\right) \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{4}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}}\right)−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{4}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}}\right) \\ $$$$\:\:\:=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{13}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{13}}=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{65}} \\ $$
Commented by hardmath last updated on 06/Dec/23
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{professor}\:\mathrm{cool} \\ $$