Question Number 201534 by Mathspace last updated on 08/Dec/23
$${let}\:{f}\left({x}\right)={tanx} \\ $$$${find}\:{f}^{\left({n}\right)} \left({x}\right)\:{with}\:{n}\:{integr} \\ $$$${natural} \\ $$
Commented by Frix last updated on 09/Dec/23
$$\mathrm{There}'\mathrm{s}\:\mathrm{a}\:\mathrm{very}\:\mathrm{complicated}\:\mathrm{formula},\:\mathrm{you}\:\mathrm{must} \\ $$$$\mathrm{search}\:\mathrm{the}\:\mathrm{www} \\ $$$$\mathrm{But}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{give}\:\mathrm{a}\:\mathrm{nice}\:\mathrm{sequence} \\ $$$${t}=\mathrm{tan}\:{x} \\ $$$${u}={at}^{{b}} \:\Rightarrow\:{u}'=\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\frac{{df}}{{dt}}={ab}\left({t}^{{b}+\mathrm{1}} +{t}^{{b}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{If}\:\mathrm{we}\:\mathrm{start}\:\mathrm{with}\:{u}_{\mathrm{0}} ={t}\:\left({a}={b}=\mathrm{1}\right) \\ $$$${u}_{\mathrm{0}} ={t} \\ $$$${u}_{\mathrm{1}} ={t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$${u}_{\mathrm{2}} =\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)×\mathrm{2}{t}=\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{t} \\ $$$${u}_{\mathrm{3}} =\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{6}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)=\mathrm{6}{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{8}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2} \\ $$$${u}_{\mathrm{3}} =\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{24}{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{16}{t}\right)=\mathrm{24}{t}^{\mathrm{5}} +\mathrm{40}{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{16}{t} \\ $$$${u}_{\mathrm{4}} =\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{120}{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{120}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{16}\right)= \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{120}{t}^{\mathrm{6}} +\mathrm{240}{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{136}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{16} \\ $$$$… \\ $$