Question Number 201573 by sonukgindia last updated on 09/Dec/23
Answered by witcher3 last updated on 09/Dec/23
$$=\int_{−\infty} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2024x}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{2020}} }{\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{2025x}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{2019x}} \right)\left(\left(−\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{3x}\right)^{\mathrm{2023}} +\mathrm{1}\right)}=\mathrm{I} \\ $$$$=\int_{−\infty} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{e}^{\mathrm{5x}} }{\left.\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{6x}} \right)\left(\left(−\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}+\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\left(\frac{−\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}−\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{−\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}−\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right)\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\left\{\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}\right)+\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right\}\left\{.\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}\right)−\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt{\left.\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right\}}=−\mathrm{1}\right. \\ $$$$\mathrm{I}=\int_{−\infty} ^{\infty} \frac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{e}^{\mathrm{5x}} \right)\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}+\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2023}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{6x}} \right)\left(\mathrm{1}+\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}+\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2023}} \right.}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{2I}=\int_{−\infty} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{e}^{\mathrm{5x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{6x}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{6}} }\mathrm{dx},\mathrm{x}^{\mathrm{6}} =\mathrm{y} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{1}+\mathrm{y}}.\frac{\mathrm{y}^{−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}} }{\mathrm{6}}\mathrm{dy} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{y}^{−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}} }{\mathrm{1}+\mathrm{y}}\mathrm{dy}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{y}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}} }{\mathrm{1}+\mathrm{y}}\mathrm{dy} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\beta\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}},\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\beta\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}.\frac{\pi}{\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Anonim_X last updated on 09/Dec/23
nice
Commented by Calculusboy last updated on 09/Dec/23
$$\boldsymbol{{nice}}\:\boldsymbol{{solution}} \\ $$
Commented by witcher3 last updated on 10/Dec/23
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{You} \\ $$