Question Number 201966 by mnjuly1970 last updated on 17/Dec/23
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{solve}\: \\ $$$$\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}\:\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}+\mathrm{1}}\:−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}+\mathrm{2}}\:\right)=\:\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$
Answered by ajfour last updated on 17/Dec/23
$${let}\:\:{x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}={t}\:\:\Rightarrow\:\:{p}={x}+\mathrm{1}={t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${q}={x}+\mathrm{2}={t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:−{R}=\:{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}={t}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$${pq}=−{R} \\ $$$$\left({t}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\left[−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}\left({pq}\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} }{\left({t}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} }\right]=\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}\left({pq}\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} }{\left({t}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} }=\:\:−\frac{\mathrm{1}}{{R}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{1}}{{R}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{27}\left(−{R}\right)}{−{R}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\frac{\mathrm{1}}{{R}}−\mathrm{1}=\mathrm{3}\:\:\Rightarrow\:\:{R}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$${x}=\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 17/Dec/23
$$\:\:{thanks}\:{alot}\:{sir}\:{ajfor} \\ $$$$\:\: \\ $$
Answered by Frix last updated on 17/Dec/23
$$\left({ab}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \left({a}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −{b}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right)=\mathrm{1} \\ $$$$\underset{\bigstar} {\underbrace{{a}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −{b}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} }}=\left({ab}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \\ $$$${a}−\mathrm{3}\left({ab}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \left(\underset{\bigstar} {\underbrace{{a}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −{b}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} }}\right)−{b}=\left({ab}\right)^{−\mathrm{1}} \\ $$$${a}−{b}−\mathrm{3}=\frac{\mathrm{1}}{{ab}} \\ $$$${a}={x}+\mathrm{1}\wedge{b}={x}+\mathrm{2} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}=\mathrm{0} \\ $$$${x}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left[\mathrm{Only}\:\mathrm{true}\:\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{stay}\:\in\mathbb{R}\:\Rightarrow\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{−{r}}=−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{r}}\right] \\ $$
Commented by Frix last updated on 17/Dec/23
$$…\mathrm{and}\:\mathrm{no}\:\mathrm{complex}\:\mathrm{solutions}. \\ $$