If-n-2-and-U-n-3-5-n-3-5-n-then-prove-that-U-n-1-6U-n-4U-n-1-

Question Number 202328 by MATHEMATICSAM last updated on 24/Dec/23

$$\mathrm{If}\:{n}\:\geqslant\:\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{U}_{{n}} \:=\:\left(\mathrm{3}\:+\:\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \:+\:\left(\mathrm{3}\:−\:\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{U}_{{n}\:+\:\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{6U}_{{n}} \:−\:\mathrm{4U}_{{n}\:−\:\mathrm{1}} \:. \\ $$

Commented by aleks041103 last updated on 24/Dec/23

$${It}\:{is}\:{true}\:{even}\:{for}\:{n}=\mathrm{1} \\ $$

Answered by aleks041103 last updated on 24/Dec/23

$${U}_{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{4}{U}_{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{6}{U}_{{n}} = \\ $$$$=\left(\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\left(\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}−\mathrm{6}\left(\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)\right)+ \\ $$$$\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}−\mathrm{6}\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}\right)\right) \\ $$$$\left(\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{14}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{14}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{4}−\mathrm{18}−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{14}−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\left(\mathrm{14}−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{4}−\mathrm{18}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{U}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{6}{U}_{{n}} +\mathrm{4}{U}_{{n}−\mathrm{1}} = \\ $$$$=\left(\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}\right)+\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow{U}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{6}{U}_{{n}} −\mathrm{4}{U}_{{n}−\mathrm{1}} \\ $$

Terms of Service
Privacy Policy
Contact: info@tinkutara.com