Question Number 203149 by hardmath last updated on 11/Jan/24
$$\mathrm{If}\:\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{Then}\:\:\:\sqrt{\mathrm{2a}\:+\:\mathrm{7}}\:+\:\sqrt{\mathrm{2b}\:+\:\mathrm{7}}\:\leqslant\:\mathrm{6} \\ $$
Commented by mr W last updated on 12/Jan/24
$$\underset{{a}={b}=−\mathrm{1}} {\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\leqslant\:\sqrt{\mathrm{2}{a}+\mathrm{7}}+\sqrt{\mathrm{2}{b}+\mathrm{7}\:}\leqslant\underset{{a}={b}=\mathrm{1}} {\mathrm{6}} \\ $$
Answered by AST last updated on 11/Jan/24
$${Let}\:{p}=\mathrm{2}{a}+\mathrm{7};{q}=\mathrm{2}{b}+\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow{p}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{28}{a}+\mathrm{49};{q}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{28}{b}+\mathrm{49} \\ $$$$\Rightarrow{p}^{\mathrm{2}} +{q}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{28}\left({a}+{b}\right)+\mathrm{98}=\mathrm{106}+\mathrm{28}\left({a}+{b}\right) \\ $$$$\leqslant\mathrm{106}+\mathrm{28}\left(\mathrm{2}\sqrt{\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{162} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{81}\geqslant\frac{{p}^{\mathrm{2}} +{q}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\geqslant\left(\frac{{p}+{q}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{9}\geqslant\sqrt{\frac{{p}^{\mathrm{2}} +{q}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}\geqslant\frac{{p}+{q}}{\mathrm{2}}\geqslant\left(\frac{\sqrt{{p}}+\sqrt{{q}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\frac{\sqrt{{p}}+\sqrt{{q}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{9}\Rightarrow\sqrt{{p}}+\sqrt{{q}}=\sqrt{\mathrm{2}{a}+\mathrm{7}}+\sqrt{\mathrm{2}{b}+\mathrm{7}}\leqslant\mathrm{6} \\ $$
Commented by hardmath last updated on 12/Jan/24
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professors} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 11/Jan/24
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{concave}\:\mathrm{f}''\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} <\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\right)\geqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right) \\ $$$$\Rightarrow\sqrt{\mathrm{2a}+\mathrm{7}}+\sqrt{\mathrm{2b}+\mathrm{7}}\leqslant\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{2a}+\mathrm{7}+\mathrm{2b}+\mathrm{7}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\leqslant\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{7}} \\ $$$$\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{b}\leqslant\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{LhS}\leqslant\mathrm{2}.\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{7}}=\mathrm{2}.\mathrm{3}=\mathrm{6} \\ $$