Question Number 203206 by hardmath last updated on 12/Jan/24
Answered by mr W last updated on 12/Jan/24
$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\mid{i}−{k}\mid \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{i}} {\sum}}\mid{i}−{k}\mid+\underset{{k}={i}+\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\mid{i}−{k}\mid \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{i}} {\sum}}\left({i}−{k}\right)+\underset{{k}={i}+\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\left({k}−{i}\right) \\ $$$$=\frac{\left({i}−\mathrm{1}\right){i}}{\mathrm{2}}+\frac{\left(\mathrm{100}−{i}\right)\left(\mathrm{101}−{i}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}{i}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10100}−\mathrm{202}{i}}{\mathrm{2}} \\ $$$$={i}^{\mathrm{2}} −\mathrm{101}{i}+\mathrm{5050} \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{x}} {\sum}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\mid{i}−{k}\mid \\ $$$$=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{x}} {\sum}}\left({i}^{\mathrm{2}} −\mathrm{101}{i}+\mathrm{5050}\right) \\ $$$$=\frac{{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{101}{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+\mathrm{5050}{x} \\ $$$$=\frac{{x}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{150}{x}+\mathrm{14999}\right)}{\mathrm{3}}=\mathrm{333300} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{100}\:\checkmark \\ $$
Commented by hardmath last updated on 12/Jan/24
$$\mathrm{perfect}\:\mathrm{my}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much} \\ $$