Question Number 203313 by CrispyXYZ last updated on 16/Jan/24
$${a}_{{n}+\mathrm{1}} ={a}_{{n}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{a}_{{n}} −\mathrm{2},\:{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}. \\ $$$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\Sigma\:\frac{\mathrm{1}}{{a}_{{n}} +\mathrm{2}}\:\leqslant\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}. \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 16/Jan/24
$$\begin{cases}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{2a}_{\mathrm{n}} −\mathrm{2}}\\{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \geqslant\mathrm{n}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{recursion}\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}\geqslant\mathrm{1}+\mathrm{2}\:\mathrm{true} \\ $$$$\mathrm{suppose}\:\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \geqslant\mathrm{n}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{f}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right);\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}\:\mathrm{increse}\:\mathrm{in}\:\left[\mathrm{0},\infty\left[\right.\right. \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \geqslant\mathrm{n}+\mathrm{2}>\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{f}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)\geqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)=\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)−\mathrm{2} \\ $$$$=\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6n}+\mathrm{6}>\mathrm{n}+\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} >\mathrm{n}+\mathrm{3}\:\Rightarrow\forall\mathrm{n}\in\mathbb{N}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \geqslant\mathrm{n}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{2a}_{\mathrm{n}} −\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{2}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} +\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{2}}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} +\mathrm{2}}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \geqslant\mathrm{n}+\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} +\mathrm{2}}{\mathrm{a}_{\mathrm{k}} +\mathrm{2}}\geqslant\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{2}}{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{2}}\geqslant\mathrm{3}.\mathrm{4}….\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)=\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)!}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{2}\geqslant\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)! \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} +\mathrm{2}\geqslant\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!;\forall\mathrm{n}\in\mathbb{N} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} +\mathrm{2}}\leqslant\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}.\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!}\Rightarrow\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} +\mathrm{2}}\leqslant\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\left(\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}!}−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{e}=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}!} \\ $$$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} +\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\left(\mathrm{e}−\mathrm{2}\right)<\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}} \\ $$$$\mathrm{proof}\Leftrightarrow\mathrm{2}\left(\mathrm{e}−\mathrm{2}\right)<\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{e}<\mathrm{2}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}=\mathrm{2}.\mathrm{75}>\mathrm{e}\:\mathrm{true} \\ $$$$ \\ $$