Question Number 203457 by DEGWE last updated on 19/Jan/24
Answered by witcher3 last updated on 19/Jan/24
$$\mathrm{tanh}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\frac{\mathrm{1}+\mathrm{3}^{\mathrm{x}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{3}^{\mathrm{x}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)}−\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}+\mathrm{3}^{\mathrm{x}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{3}^{\mathrm{x}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)}+\mathrm{1}}=\mathrm{3}^{\mathrm{x}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$=\mathrm{e}^{\mathrm{xln}\left(\mathrm{3}\right)} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{n}!}−\Sigma\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!}−\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{coefficient}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}^{\mathrm{100}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{100}} \left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{100}!} \\ $$