Question Number 203668 by Perelman last updated on 25/Jan/24
Answered by witcher3 last updated on 25/Jan/24
![x→^f (1/(4−3x)) f′(x)=(3/((4−3x)^2 )) ∀x∈[−1,(1/3)]⇒f(x)∈[(1/7),(1/3)].....(1) ⇒f[−1,(1/3)])⊂[(1/7),(1/3)] x_2 =(1/(4−3.2016))=(1/(−6044))∈[−1,(1/3)] ⇒∀n≥2 x_n ∈[−1,(1/3)] by (1) proof x_2 ∈[−1,(1/3)] supoose ∀n≥2 x_n ∈[−1,(1/3)] x_(n+1) =f(x_n )∈f[−1,(1/3)]⇒x_(n+1) ∈[(1/7),(1/3)]⇒x_(n+1) ∈[−1,(1/3)] ⇒x_n ∈[−1,(1/3)] x_(n+1) −x_n =(1/(4−3x_n ))−x_n =((3x_n ^2 −4x_n +1)/((4−3x_n )))=((3(x_n −(1/3))(x_n −1))/(4−3x_n )) x_n ∈[−1,(1/3)] ⇒x_(n+1) −x_n >0⇒x_n increaee Bounded sequence so cv since x→f(x) is continus x_(n+1) =f(x_n ) x_n cv to fix point of f lim_(n→∞) x_n =a⇒a=f(a)⇔a(4−3a)=1⇔a^2 −(4/3)a+(1/3)=0 ⇒a^2 −(1+(1/3))a+1.(1/3)=0 a∈{1,(1/3)} since a<(1/3)⇒lim_(n→∞) x_n =(1/3)](https://www.tinkutara.com/question/Q203669.png)
$$\mathrm{x}\overset{\mathrm{f}} {\rightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}−\mathrm{3x}} \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{4}−\mathrm{3x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\forall\mathrm{x}\in\left[−\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right]\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\in\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right]…..\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left.\Rightarrow\mathrm{f}\left[−\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right]\right)\subset\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right] \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}−\mathrm{3}.\mathrm{2016}}=\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{6044}}\in\left[−\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right] \\ $$$$\Rightarrow\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}\:\:\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \in\left[−\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right]\:\mathrm{by}\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{proof}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \in\left[−\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right]\:\mathrm{supoose}\:\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}\:\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \in\left[−\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right] \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \right)\in\mathrm{f}\left[−\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right]\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \in\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right]\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \in\left[−\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \in\left[−\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right] \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{x}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}−\mathrm{3x}_{\mathrm{n}} }−\mathrm{x}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{3x}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}_{\mathrm{n}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{4}−\mathrm{3x}_{\mathrm{n}} \right)}=\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}−\mathrm{3x}_{\mathrm{n}} } \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \in\left[−\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{x}_{\mathrm{n}} >\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{increaee}\:\mathrm{Bounded}\:\mathrm{sequence}\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{cv} \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{continus}\:\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \right) \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{cv}\:\mathrm{to}\:\mathrm{fix}\:\mathrm{point}\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{f} \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}x}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\Leftrightarrow\mathrm{a}\left(\mathrm{4}−\mathrm{3a}\right)=\mathrm{1}\Leftrightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{a}+\mathrm{1}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}\in\left\{\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right\}\:\mathrm{since}\:\mathrm{a}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\Rightarrow\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}x}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$