Question Number 204005 by hardmath last updated on 03/Feb/24
$$\mathrm{Find}: \\ $$$$\mathrm{cos44}°\:−\:\mathrm{cos84}°\:+\:\mathrm{ctg45}°\:=\:? \\ $$
Commented by Frix last updated on 04/Feb/24
$$\mathrm{We}\:\mathrm{cannot}\:\mathrm{get}\:\mathrm{an}\:\mathrm{expression}\:\mathrm{for}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{44}°. \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 04/Feb/24
$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{44}\right)−\mathrm{cos}\left(\mathrm{84}\right) \\ $$$$=\mathrm{2sin}\left(\mathrm{20}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{64}\right) \\ $$$$\mathrm{2sin}\left(\mathrm{20}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{26}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\mathrm{3}.\mathrm{20}\right)=\mathrm{sin}\left(\mathrm{60}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\mathrm{3x}\right)=\mathrm{2sin}\left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{3sin}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{4sin}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{20}\Rightarrow\mathrm{sin}\left(\mathrm{20}\right)=\mathrm{t}\Rightarrow−\mathrm{4t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cardon}\:\mathrm{find}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{20}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\mathrm{64}\right);\mathrm{sin}\left(\mathrm{3}.\mathrm{64}\right)=\mathrm{sin}\left(\mathrm{192}\right)=\mathrm{sin}\left(\mathrm{120}+\mathrm{72}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\mathrm{72}\right);\mathrm{sin}\left(\mathrm{72}.\mathrm{2}\right)=\mathrm{sin}\left(\mathrm{144}\right)=\mathrm{sin}\left(\mathrm{36}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\mathrm{4}.\mathrm{36}\right)=\mathrm{sin}\left(\mathrm{36}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{36}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{36}\right)=\mathrm{sin}\left(\mathrm{36}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4sin}\left(\mathrm{36}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{36}\right)\right)−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{4X}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4X}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{X}=\sqrt{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}−\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{8}}}=\mathrm{sin}\left(\mathrm{36}\right);\mathrm{cos}\left(\mathrm{36}\right)=\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{36}\right)} \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\mathrm{72}\right)\:=\mathrm{2sin}\left(\mathrm{36}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{36}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\mathrm{all}\:\mathrm{value}\:\mathrm{just}\:\mathrm{replace}\:\mathrm{it} \\ $$$$ \\ $$
Answered by a.lgnaoui last updated on 03/Feb/24
$$\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{45}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{90}−\mathrm{6}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:\mathrm{6}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{1}\cong\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{sin}\:\mathrm{1}\cong\mathrm{sin}\:\mathrm{6}\cong\mathrm{0}\:\:\:\left(\mathrm{x}<\mathrm{10}\right) \\ $$$$\mathrm{E}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{soit}}: \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{C}}\mathrm{o}\boldsymbol{\mathrm{s}}\mathrm{44}−\boldsymbol{\mathrm{Cos}}\mathrm{84}+\boldsymbol{\mathrm{Ctg}}\mathrm{45}\cong\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1} \\ $$
Commented by Frix last updated on 03/Feb/24
$$\mathrm{It}\:\mathrm{makes}\:\mathrm{no}\:\mathrm{sense}\:\mathrm{to}\:\mathrm{round}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{here}. \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\approx\mathrm{1}.\mathrm{70711} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{44}°\:−\mathrm{cos}\:\mathrm{84}°\:+\mathrm{cot}\:\mathrm{45}°\:\approx\mathrm{1}.\mathrm{61481} \\ $$