Question Number 204264 by SANOGO last updated on 10/Feb/24
$$\underset{} {\int}{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right){dx} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 10/Feb/24
$$\mathrm{by}\:\mathrm{part}\:\mathrm{u}=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right);\mathrm{v}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{xln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\int\frac{−\mathrm{2x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }.\mathrm{xdx} \\ $$$$=\mathrm{xln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}=\mathrm{xln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{xln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2}\int\mathrm{1dx}+\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{xln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2x}+\int\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{xln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2x}+\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)+\mathrm{c} \\ $$