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Question-204270

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 204270 by universe last updated on 10/Feb/24
Answered by witcher3 last updated on 10/Feb/24
(1) withe recursion We can easly proov that a_n >0 a_(n+1) =f(a_n );f(x)=ln(1+x) increase function a_n >0⇒a_(n+1) >f(0)=0 f(x)=ln(1+x);f′′(x)=−(1/((1+x)^2 ))<0 conncave function tangent in zero y=f′(0)(x−0)+f(0)=x we have ln(1+x)<x ⇒a_(n+1) =ln(1+a_n )<a_n a_n decrease and a_n >0⇒a_n cv use theorem cv s=lim_(n→∞) a_n is a fixed point of f(x)=ln(1+x) ln(1+x)=x use f is concave ⇒x=0 lim a_n =0 a_(n+1) =ln(1+a_n )=a_n −(a_n ^2 /2)+o(a_n ^3 )...Dl f(x) near 0 a_(n+1) ^(−1) −a_n ^(−1) =(a_n −(a_n ^2 /2)+o(a_n ^3 ))^(−1) −a_n ^(−1) =a_n ^(−1) (1−(a_n /2)+o(a_n ^2 ))^(−1) −a_n ^(−1) =a_n ^(−1) (1+(a_n /2)+o(a_n ^2 ))−a_n ^(−1) =(1/2)+o(a_n ) ⇒a_(n+1) ^(−1) −a_n ^(−1) ∼(1/2) ⇒Σ_(k=n) ^N a_(k+1) ^(−1) −a_k ^(−1) ∼Σ(1/2) ⇒a_(N+1) ^(−1) −a_n ^(−1) ∼((N−n)/2)∼(N/2) ⇒a_(N+1) ^(−1) ∼(N/2)∼((N+1)/2) ⇒lim_(n→∞) (a_n ^(−1) /n)=(1/2) ⇔lim_(n→∞) na_n =2
$$\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{withe}\:\mathrm{recursion}\:\mathrm{We}\:\mathrm{can}\:\mathrm{easly}\:\mathrm{proov}\:\mathrm{that}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} >\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{f}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right);\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\:\mathrm{increase}\:\mathrm{function} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} >\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} >\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right);\mathrm{f}''\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }<\mathrm{0}\:\mathrm{conncave}\:\mathrm{function} \\ $$$$\mathrm{tangent}\:\mathrm{in}\:\mathrm{zero}\:\mathrm{y}=\mathrm{f}'\left(\mathrm{0}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{0}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)<\mathrm{x}\:\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)<\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{decrease}\:\mathrm{and}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} >\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{cv}\:\mathrm{use}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{cv} \\ $$$$\mathrm{s}=\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}a}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{fixed}\:\mathrm{point}\:\mathrm{of}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}\:\mathrm{use}\:\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{concave}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{lim}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)=\mathrm{a}_{\mathrm{n}} −\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{o}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{3}} \right)…\mathrm{Dl}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{near}\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{−\mathrm{1}} =\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} −\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{o}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{3}} \right)\right)^{−\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{−\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{o}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \right)\right)^{−\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{−\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{o}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \right)\right)−\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{o}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{−\mathrm{1}} \sim\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{k}=\mathrm{n}} {\overset{\mathrm{N}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{k}} ^{−\mathrm{1}} \sim\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{N}+\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{−\mathrm{1}} \sim\frac{\mathrm{N}−\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\sim\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{N}+\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} \sim\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{2}}\sim\frac{\mathrm{N}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}na}_{\mathrm{n}} =\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 10/Feb/24
for(b) (1/(ln(1+x)))−(1/x)=(1/(x−(x^2 /2)+(x^3 /3)+o(x^3 )))−(1/x)=(1/x)((1/(1−((x/2)−(x^2 /3)+o(x^2 ))))−1) =(1/x)(1+(x/2)−(x^2 /(12))+o(x^2 )−1) =(1/2)−(x/(12))+o(x) let V_n =(1/u_n )−(n/2) V_(n+1) −V_n ∼(1/(ln(1+u_n )))−(1/u_n )−(1/2)∼−(u_n /(12))+o(u_n ) u_n ∼(2/n) V_(n+1) −V_n ∼−(1/(6n))+o((2/n)) ⇒ΣV_(n+1) −V_n ∼−(1/6)Σ(1/n)∼−(1/6)ln(n) V_n ∼−(1/6)ln(n) (1/u_n )−(n/2)∼−((ln(n))/6)⇒u_n ∼(1/((n/2)−((ln(n))/6)))=(2/(n−((ln(n))/3))) nu_n −2∼((2ln(n))/(3(n−((ln(n))/3)))) ((n(nu_n −2))/(ln(n)))∼((2nln(n))/(3(n−((ln(n))/3))ln(n)))=(2/3).(1/(1−((ln(n))/3)))→(2/3)
$$\mathrm{for}\left(\mathrm{b}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right)}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{12}}+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{V}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} }−\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{V}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sim−\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{12}}+\mathrm{o}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right) \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{V}_{\mathrm{n}} \sim−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6n}}+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\Sigma\mathrm{V}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{V}_{\mathrm{n}} \sim−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\sim−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right) \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{n}} \sim−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}} }−\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\sim−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)}{\mathrm{6}}\Rightarrow\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)}{\mathrm{6}}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{nu}_{\mathrm{n}} −\mathrm{2}\sim\frac{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{n}\right)}{\mathrm{3}\left(\mathrm{n}−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)}{\mathrm{3}}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{nu}_{\mathrm{n}} −\mathrm{2}\right)}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)}\sim\frac{\mathrm{2nln}\left(\mathrm{n}\right)}{\mathrm{3}\left(\mathrm{n}−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)}{\mathrm{3}}}\rightarrow\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$

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