Question Number 204334 by universe last updated on 13/Feb/24
Answered by Frix last updated on 13/Feb/24
$${n}\rightarrow\infty\:\Rightarrow\:{a}_{{n}} =\sqrt{\mathrm{2}{a}_{{n}} }\:\Rightarrow\:{a}_{{n}} =\mathrm{2} \\ $$
Answered by MM42 last updated on 14/Feb/24
$${step}\:\mathrm{1}: \\ $$$${a}_{{n}+\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} −{a}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} ={a}_{{n}+\mathrm{1}} −{a}_{{n}−\mathrm{1}} =\frac{{a}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −{a}_{{n}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }{{a}_{{n}+\mathrm{1}} +{a}_{{n}−\mathrm{1}} }=\frac{{a}_{{n}−\mathrm{1}} −{a}_{{n}−\mathrm{2}} }{{a}_{{n}+\mathrm{1}} +{a}_{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$=\frac{{a}_{{n}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −{a}_{{n}−\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }{\left({a}_{{b}+\mathrm{1}} +{a}_{{n}−\mathrm{1}} \right)\left({a}_{{n}−\mathrm{1}} +{a}_{{n}−\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$=\frac{{a}_{{n}−\mathrm{2}} −{a}_{{n}−\mathrm{3}} }{\left({a}_{{n}+\mathrm{1}} +{a}_{{n}−\mathrm{1}} \right)\left({a}_{{n}−\mathrm{1}} +{a}_{{n}−\mathrm{2}} \right)}=… \\ $$$$=\frac{{a}_{\mathrm{2}} −{a}_{\mathrm{1}} }{\left({a}_{{n}+\mathrm{1}} +{a}_{{n}−\mathrm{1}} \right)\left({a}_{{n}−\mathrm{1}} +{a}_{{n}−\mathrm{2}} \right)…\left({a}_{\mathrm{3}} +{a}_{\mathrm{2}} \right)}>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left\{{a}_{{n}} \right\}\:\nearrow \\ $$$${step}\:\mathrm{2}: \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}<\mathrm{2}\:\:,\:{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1}<\mathrm{2}\:\:,\:{a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{1}<\mathrm{2} \\ $$$${a}_{\mathrm{4}} =\sqrt{\mathrm{2}}<\mathrm{2}\:\:\:,\:\:{a}_{\mathrm{5}} =\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}<\mathrm{2} \\ $$$$\forall\:{m}<{n}\rightarrow{a}_{{m}} <\mathrm{2} \\ $$$${a}_{{n}} ^{\mathrm{2}} ={a}_{{n}−\mathrm{2}} +{a}_{{n}−\mathrm{1}} <\mathrm{4}\:\Rightarrow{a}_{{n}} <\mathrm{2}\:\checkmark \\ $$$$\Rightarrow\left\{{a}_{{n}} \right\}\:\:{is}\:{convergent} \\ $$$${let}\:\:{a}_{{n}} \rightarrow{a} \\ $$$$\Rightarrow{lim}_{{n}\rightarrow\infty} {a}_{{n}+\mathrm{2}} ={lim}_{{n}\rightarrow\infty} \sqrt{{a}_{{n}} +{a}_{{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\Rightarrow{a}=\sqrt{\mathrm{2}{a}}\Rightarrow\:{a}=\mathrm{2}\:\:\checkmark \\ $$$$ \\ $$