soit-f-R-3-R-3-f-x-y-z-x-y-2x-y-x-z-1-Ecrire-la-matrice-M-de-cette-application-dans-la-base-canonique-B-de-R-3-2-Calculer-f-1-2-3-de-2-manieres-differentes-en-utilisant-la-definit

Question Number 204478 by a.lgnaoui last updated on 18/Feb/24

soit f : R^{3} \to R^{3} f (x, y, z) = (x + y, 2 x - y, x + z)

∙ 1 Ecrire la matrice M de cette application

dans la base canonique B de R^{3}

∙ 2 Calculer f (1, 2, 3) de 2 manieres differentes

- en utilisant la definition de f

- en utilisant la matrice M

∙ 3 determiner bsse de Ker (f) et de I m (f)

∙ 4 soient v_{1} = (1, 1, 0) v_{2} = (1, 2, 1) v_{3} = (1, 3, 1)

Montrer que la famille E = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) est

une base de R^{3}

∙ 5 Calculer f (v_{1}) donner ses coordonnes (locus)

dans bass E

avec f (v_{2}) = v_{1} + {6 v}_{2} - {4 v}_{3}

f (v_{3}) = {2 v}_{1} + {8 v}_{2} - {6 v}_{3}

∙ 6 Ecrire la matrice N de f dans base F

∙ 7 Retrouver cette matrice a partir de M

en utilisant la formule de changement de base

Answered by A5T last updated on 21/Feb/24

1 . f (x, y, z) = (x + y + 0 z, 2 x - y + 0 z, x + 0 y + z)

\Rightarrow (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} a x + b y + c z \\ d x + e y + f z \\ g x + h y + i z \end{matrix})

= (\begin{matrix} x + y + 0 z \\ 2 x - y + 0 z \\ x + 0 y + z \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})

2 . f (1, 2, 3) = (3, 0, 4)

3 . K e r (f) = (x, y, z) s . t . f (x, y, z) = (0, 0, 0)

\Rightarrow x + y = 0, 2 x - y = 0, x + z = 0 \Rightarrow x = - y = - 2 x \Rightarrow x = 0

\Rightarrow y = 0 \Rightarrow z = 0 \Rightarrow K e r (f) = (0, 0, 0)

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