Question Number 204461 by MATHEMATICSAM last updated on 18/Feb/24
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:{x} \\ $$$$\left({x}\:−\:\mathrm{12}\right)\left({x}\:−\:\mathrm{13}\right)\:=\:\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{33}^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by TonyCWX08 last updated on 18/Feb/24
$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{25}{x}+\mathrm{156}\:=\:\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{1089}} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{25}\:=\:\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{1089}}−\mathrm{156} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{25}+\left(\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{164859}}{\mathrm{1057}}+\frac{\mathrm{625}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\left({x}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{304}}{\mathrm{1081}} \\ $$$${x}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{2}}=\pm\sqrt{\frac{\mathrm{304}}{\mathrm{1081}}} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{2}}\pm\sqrt{\frac{\mathrm{304}}{\mathrm{1081}}} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{395}}{\mathrm{33}}\:{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{430}}{\mathrm{33}} \\ $$
Answered by som(math1967) last updated on 18/Feb/24
$${let}\:\mathrm{33}={a}\Rightarrow\mathrm{34}={a}+\mathrm{1} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{12}\right)\left({x}−\mathrm{13}\right)=\frac{{a}+\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{12}\right)\left({x}−\mathrm{13}\right)−{a}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{12}\right)\left({x}−\mathrm{13}\right)+\left({x}−\mathrm{13}\right){a} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\left({x}−\mathrm{12}\right){a}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{a}\left({x}−\mathrm{13}\right)\left({ax}−\mathrm{12}{a}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:−\mathrm{1}\left({ax}−\mathrm{12}{a}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left({ax}−\mathrm{12}{a}+\mathrm{1}\right)\left({ax}−\mathrm{13}{a}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\therefore{x}=\frac{\mathrm{12}{a}−\mathrm{1}}{{a}}=\mathrm{12}−\frac{\mathrm{1}}{{a}}=\mathrm{12}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{33}} \\ $$$${x}=\mathrm{11}\frac{\mathrm{32}}{\mathrm{33}} \\ $$$${or}\:{x}=\frac{\mathrm{13}{a}+\mathrm{1}}{{a}}=\mathrm{13}+\frac{\mathrm{1}}{{a}}=\mathrm{13}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{33}} \\ $$