Question Number 204544 by hardmath last updated on 21/Feb/24
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }\:\:+\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{3}} }\:\:+\:\:…\:\:+\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\:\:<\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}} \\ $$
Answered by mr W last updated on 21/Feb/24
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+…\right)−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }−\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+…\right) \\ $$$$<\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+…\right)−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\zeta\left(\mathrm{3}\right)−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}<\mathrm{1}.\mathrm{2021}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}} \\ $$
Commented by hardmath last updated on 23/Feb/24
$$\mathrm{Perfect}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$