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Question-204701

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Question Number 204701 by Abdullahrussell last updated on 25/Feb/24
Answered by A5T last updated on 25/Feb/24
x^3 =x−2⇒x^4 =x^2 −2x⇒x^5 =x^3 −2x^2 =−2x^2 +x−2 x^(10) =4x^4 −4x^3 +9x^2 −4x+4=13x^2 −16x+12 ⇒x^(20) =169x^4 −416x^3 +568x^2 −384x+144 =737(x^2 )−1138x+976 ⇒x^(23) =737x^5 −1138x^4 +976x^3 =737(−2x^2 +x−2)−1138(x^2 −2x)+976(x−2) =−2612x^2 +3989x−3426 ⇒x_1 ^(23) +x_2 ^(23) +x_3 ^(23) =−2612(x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3 ^2 )+3989(x_1 +x_2 +x_3 )−3426×3 x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3 ^2 =(x_1 +x_2 +x_3 )^2 −2(x_1 x_2 +x_2 x_3 +x_3 x_1 ) =2 ⇒x_1 ^(23) +x_2 ^(23) +x_3 ^(23) =−2612(2)−3426×3=−15502
$${x}^{\mathrm{3}} ={x}−\mathrm{2}\Rightarrow{x}^{\mathrm{4}} ={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\Rightarrow{x}^{\mathrm{5}} ={x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} =−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2} \\ $$$${x}^{\mathrm{10}} =\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}=\mathrm{13}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{16}{x}+\mathrm{12} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{20}} =\mathrm{169}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{416}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{568}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{384}{x}+\mathrm{144} \\ $$$$=\mathrm{737}\left({x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{1138}{x}+\mathrm{976} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{23}} =\mathrm{737}{x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{1138}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{976}{x}^{\mathrm{3}} \\ $$$$=\mathrm{737}\left(−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}\right)−\mathrm{1138}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\right)+\mathrm{976}\left({x}−\mathrm{2}\right) \\ $$$$=−\mathrm{2612}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3989}{x}−\mathrm{3426} \\ $$$$\Rightarrow{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{23}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{23}} +{x}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{23}} \\ $$$$=−\mathrm{2612}\left({x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{3989}\left({x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{3426}×\mathrm{3} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} =\left({x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} {x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{3}} {x}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{23}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{23}} +{x}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{23}} =−\mathrm{2612}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{3426}×\mathrm{3}=−\mathrm{15502} \\ $$
Answered by A5T last updated on 25/Feb/24
x^3 =x−2⇒x^4 =x^2 −2x x^6 =x^2 −4x+4⇒x^8 =x^4 −4x^3 +4x^2 ⇒x^8 =5x^2 −2x−4(x−2)=5x^2 −6x+8 ⇒x^(10) =5x^4 −6x^3 +8x^2 =13x^2 −16x+12 ⇒x^(11) =13x^3 −16x^2 +12x=−16x^2 +25x−26 ⇒x^(22) =256x^4 −800x^3 +1457x^2 −1300x+676 =1713x^2 −2612x+2276 ⇒x^(23) =1713x^3 −2612x^2 +2276x =−2612x^2 +3989x−3426 ⇒x_1 ^(23) +x_2 ^(23) +x_3 ^(23) =−2612(x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3 ^2 )+3989(x_1 +x_2 +x_3 )−3426×3 x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3 ^2 =(x_1 +x_2 +x_3 )^2 −2(x_1 x_2 +x_2 x_3 +x_3 x_1 ) =2 ⇒x_1 ^(23) +x_2 ^(23) +x_3 ^(23) =−2612(2)−3426×3=−15502
$${x}^{\mathrm{3}} ={x}−\mathrm{2}\Rightarrow{x}^{\mathrm{4}} ={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x} \\ $$$${x}^{\mathrm{6}} ={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}\Rightarrow{x}^{\mathrm{8}} ={x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{8}} =\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}\left({x}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{10}} =\mathrm{5}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{6}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{13}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{16}{x}+\mathrm{12} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{11}} =\mathrm{13}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{16}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12}{x}=−\mathrm{16}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{25}{x}−\mathrm{26} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{22}} =\mathrm{256}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{800}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1457}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1300}{x}+\mathrm{676} \\ $$$$=\mathrm{1713}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2612}{x}+\mathrm{2276} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{23}} =\mathrm{1713}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2612}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2276}{x} \\ $$$$=−\mathrm{2612}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3989}{x}−\mathrm{3426} \\ $$$$\Rightarrow{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{23}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{23}} +{x}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{23}} \\ $$$$=−\mathrm{2612}\left({x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{3989}\left({x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{3426}×\mathrm{3} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} =\left({x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} {x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{3}} {x}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{23}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{23}} +{x}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{23}} =−\mathrm{2612}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{3426}×\mathrm{3}=−\mathrm{15502} \\ $$
Answered by mr W last updated on 25/Feb/24
x^3 =x−2 x^9 =(x−2)^3 =x^3 −6x^2 +12x−8=−6x^2 +13x−10 x^(11) =−6x^4 +13x^3 −10x^2 =−16x^2 +25x−26 x^(22) =256x^4 −800x^3 +1457x^2 −1300x+676=1713x^2 −2612x+2276 x^(23) =1713x^3 −2612x^2 +2276x=−2612x^2 +3989x−3426 (x_1 +x_2 +x_3 )^2 =x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3 ^3 +2(x_1 x_2 +x_2 x_3 +x_3 x_1 ) ⇒Σx^2 =0^2 −2×(−1)=2 Σx^(23) =−2612×2+3989×0−3×3426=−15502 ✓
$${x}^{\mathrm{3}} ={x}−\mathrm{2} \\ $$$${x}^{\mathrm{9}} =\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} ={x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12}{x}−\mathrm{8}=−\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{13}{x}−\mathrm{10} \\ $$$${x}^{\mathrm{11}} =−\mathrm{6}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{13}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} =−\mathrm{16}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{25}{x}−\mathrm{26} \\ $$$${x}^{\mathrm{22}} =\mathrm{256}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{800}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1457}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1300}{x}+\mathrm{676}=\mathrm{1713}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2612}{x}+\mathrm{2276} \\ $$$${x}^{\mathrm{23}} =\mathrm{1713}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2612}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2276}{x}=−\mathrm{2612}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3989}{x}−\mathrm{3426} \\ $$$$\left({x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} ={x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}\left({x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} {x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{3}} {x}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\Sigma{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\Sigma{x}^{\mathrm{23}} =−\mathrm{2612}×\mathrm{2}+\mathrm{3989}×\mathrm{0}−\mathrm{3}×\mathrm{3426}=−\mathrm{15502}\:\checkmark \\ $$

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