Menu Close

Q-0-1-1-x-3-1-x-33-1-x-333-lnx-dx-

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 204985 by Lindemann last updated on 04/Mar/24
Q=∫_0 ^1 (((1−x^3 )(1−x^(33) )(1−x^(333) ))/(lnx))dx
$${Q}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{33}} \right)\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{333}} \right)}{{lnx}}{dx} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 04/Mar/24
Q(a)=∫_0 ^1 ((P(x)(1−x^a ))/(ln(x)))dx;a>0;and P(x) polynomial Q(0)=0 (∂Q/∂a)=∫_0 ^1 p(x)(∂/∂a)(((1−x^a )/(ln(x))))dx=∫_0 ^1 −P(x)x^a dx P(x)=Σ_(n=0) ^m a_n x^n Q′(a)=−Σ_(n=0) ^m a_n ∫_0 ^1 x^(n+a) dx =−Σ_(n=0) ^m (a_n /(n+a+1)) Q(a)=−Σ_(n=0) ^m a_n ln(n+a+1)+C Q(0)=c−Σ_(n=0) ^m a_n ln(n+1)=0⇒c=Σa_n ln(n+1) Q(a)=Σ_n a_n ln(((n+1)/(n+1+a))) in our exemple a=333;P(x)=x^(36) −x^(33) −x^3 +1
$$\mathrm{Q}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \right)}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx};\mathrm{a}>\mathrm{0};\mathrm{and}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{polynomial} \\ $$$$\mathrm{Q}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\partial\mathrm{Q}}{\partial\mathrm{a}}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\frac{\partial}{\partial\mathrm{a}}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{a}} }{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}\right)\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{Q}'\left(\mathrm{a}\right)=−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{a}} \mathrm{dx} \\ $$$$=−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{a}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{Q}\left(\mathrm{a}\right)=−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{n}+\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{Q}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{c}−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{c}=\Sigma\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Q}\left(\mathrm{a}\right)=\underset{\mathrm{n}} {\sum}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{a}}\right) \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{our}\:\mathrm{exemple}\:\mathrm{a}=\mathrm{333};\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{36}} −\mathrm{x}^{\mathrm{33}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$
Commented by moeeein last updated on 05/Mar/24
Q(a)=∫_0 ^1 ((P(x)(1−x^a ))/(ln(x)))dx;a>0;and P(x) polynomial Q(0)=0 (∂Q/∂a)=∫_0 ^1 p(x)(∂/∂a)(((1−x^a )/(ln(x))))dx=∫_0 ^1 −P(x)x^a dx P(x)=Σ_(n=0) ^m a_n x^n Q′(a)=−Σ_(n=0) ^m a_n ∫_0 ^1 x^(n+a) dx =−Σ_(n=0) ^m (a_n /(n+a+1)) Q(a)=−Σ_(n=0) ^m a_n ln(n+a+1)+C Q(0)=c−Σ_(n=0) ^m a_n ln(n+1)=0⇒c=Σa_n ln(n+1) Q(a)=Σ_n a_n ln(((n+1)/(n+1+a))) in our exemple a=333;P(x)=x^(36) −x^(33) −x^3 +1
$$\mathrm{Q}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \right)}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx};\mathrm{a}>\mathrm{0};\mathrm{and}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{polynomial} \\ $$$$\mathrm{Q}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\partial\mathrm{Q}}{\partial\mathrm{a}}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\frac{\partial}{\partial\mathrm{a}}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{a}} }{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}\right)\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{Q}'\left(\mathrm{a}\right)=−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{a}} \mathrm{dx} \\ $$$$=−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{a}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{Q}\left(\mathrm{a}\right)=−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{n}+\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{Q}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{c}−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{c}=\Sigma\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Q}\left(\mathrm{a}\right)=\underset{\mathrm{n}} {\sum}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{a}}\right) \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{our}\:\mathrm{exemple}\:\mathrm{a}=\mathrm{333};\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{36}} −\mathrm{x}^{\mathrm{33}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *